Zlatni trougao

U matematici zlatni trougao je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak zlatnom broju.

$\frac{a}{b}=\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

$\mathrm{\Theta }=2{\sin }^{-1}(\frac{b}{2a})=2{\sin }^{-1}\left(\frac{b}{2\phi }\right)=\frac{\pi }{5}$

Može se naći unutar pravilnog Ikosaedra, dodekaedra i petougla, pentagrama, desetougla..

$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\phi }{2}\right)=\frac{\pi }{5}=36^{\circ }.$

Kako je zbir uglova trougla 180^o, to su uglovi na osnovici zlatnog trougla po 72^o.

To je jedini trougao kod koga se uglovi nalaze u omjeru $2:2:1.$

$a:b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Sa slike je

$\sin (\frac{\alpha }{2})=\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{1}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\sin (\frac{\pi }{10})$

Iz ovog slijedi da je

$\frac{\alpha }{2}=\frac{\pi }{10}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{5}\Rightarrow \alpha =36^{\circ }$

Pomoću ovog trougla crta se logaritamska spirala

Svi zlatni trouglovi su slični. To proizlazi iz stava U-U-U o sličnosti trouglova.

Omjer poluprečnika pravilnom desetetouglu opisane kružnice i dužine stranice toga desetougla jednak je zlatnom broju.

$R=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a$

Zlatni trougao nalazimo i unutar pravilnog petougla

$S_5=(5-2)180^{\circ }=540^{\circ }$

$\gamma =540^{\circ }/5=108^{\circ }$

$\delta =(108^{\circ }-\gamma )/2=36^{\circ }$

$\beta +\delta =108^{\circ }=>\beta =72^{\circ }$

Zlatni gnomom je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak $\frac{1}{\phi }=\phi -1$.Njegovi uglovi su $36^{\circ },36^{\circ },108^{\circ }$