Logaritamska spirala

Logaritamska spirala je jednakougaona spirala, ili rastuća spirala je spiralna kriva koja se obično pojavljuje u prirodi. Dekart je prvi opisao logaritamsku spiralu, a kasnije je Jakob Bernuli detaljnije proučio i nazvao je Spira mirabilis tj čudesna spirala.

Definicija

U polarnim koordinatama $(r, θ)$ logaritamska kriva je zapisivana kao:

$r = a e^{b θ}$

ili

$θ = \frac{1}{b} \ln (r / a),$

gdje je e matematička konstanta osnova prirodnih logaritama, a a i b proizvoljne prirodne konstante. U parametarskom obliku kriva je:

$x (t) = r (t) \cos (t) = a e^{b t} \cos (t)$

$y (t) = r (t) \sin (t) = a e^{b t} \sin (t)$ gde su $a$ i $b$ realni brojevi

Spirala ima karakteristiku da je φ između tangente i radijalne linije u tački $(r, θ)$ konstanta. Ova karakteristika može biti izražena u diferencijalnim geometrijskim uslovima:

$\arccos \frac{⟨ 𝐫 (θ), 𝐫^{'} (θ) ⟩}{‖ 𝐫 (θ) ‖ ‖ 𝐫^{'} (θ) ‖} = \arctan \frac{1}{b} = ϕ .$

Izvod od $𝐫 (θ)$ је proporcionalan parametru $b$ . Tj. to kontroliše koliko je uska spiarala i u kom smjeru ide. U ekstremnim slučajevima za $b = 0$ ( $ϕ = \frac{π}{2})$ spirala postaje krug sa poluprečnikom $a$ . Obrnuto kada $b$ teži beskonačno (φ → 0), spirala teži ka polupravoj. Komplementarni ugao φ je nagib.

U kompleksnoj ravnilogaritamska spirala može prikazati na sljedeći način

Mit

z \in ℂ ∖ ℝ

und

| z | \neq 1

odnosno

w (t) = a z^{t}, t \in ℝ,

Za $z = | z | e^{i \arg z}$ je

z^{t} = | z |^{t} e^{i t \arg z} = e^{t \ln | z |} (\cos (t \arg z) + i \sin (t \arg z))

.

Spira mirabilis i Jakob Bernuli

Spira mirabilis je latinski naziv za čudesnu spiralu, što predstavlja drugo ime za logaritamsku spiralu. Iako su joj drugi matematičari dali naziv logaritamska spirala, Jakob Bernouli joj je dao ovo specifično ime. On je bio fasciniran ovom posebnom matematičkom osobinom:veličina spirale se povećava, ali njen oblik ostaje nepromenjen povećanjem uzastopnih krivi. Ta osobina se zove samosličnost. Ishod ove osobine je da je Spira mirabilis evoluirala u prirodi, pojavljujući se u određenim rastućim oblicima, kao što je ljuštura nautilusa i suncokretov cvijet. Jakob Bernuli je želeo takvu spiralu ugraviranu na nadgrobnom spomeniku sa natpisom "Eadem mutata resurgo" (Iako promenjen, ostaću isti), ali greškom Arhimedova spirala je stavljena umjesto logaritanske.

Dužina luka krive

Dužina luka L između tačaka $M_{1}$ i $M_{2}$ iznosi:

$L = \frac{\sqrt{1 + k^{2}}}{k} (ρ_{2} - ρ_{1})$

Osobine

Logaritamska spirala se može razlikovati od Arhimedove spirale činjenicom da se udaljenost između kružnica kod logaritamske spirale povećava geometrijskom progresijom, dok je kod Arhimedove spirale ta udaljenost konstantna.

Logaritamska spirala je samoslična, i zbog toga se ona, primjenom bilo koje transformacije, podudara sa originalnom netransformisanom spiralom.

Skaliranjem faktora $e^{2 π b}$ , gdje je b cio broj, sa centrom skaliranja originala, dobija se ista kriva kao original. Druge skale faktora daju krivu koja se rotira od originalne pozicije spirale. Logaritamska spirala je takođe podudarna svojoj evolventi, evoluti i krivi pedale na osnovu njihovih centara.

Sa početkom u tački P i pomjerajući se ka unutrašnjosti duž spirale, može se kružiti oko početne neograničen broj puta ne dodirujući centar. Ipak, ukupna distanca je finalna, kada se izračuna limes $θ$ teži $\infty$ . Ovu osobinu prvi je uočio Evanđelista Toričeli prije nego što je izmišljen kalkulus. Ukupna distanca je $\frac{r}{\cos ϕ}$ , gdje je r prava linija od distance P do originala.