Kružnica

Kružnica polumjera r  i promjera d te središtem u tački M

Opći pojmovi

Neka je u ravni data tačka O i duž r. Tada , prema aksiomi prenošenja duži, na svakoj polupravoj čiji je početak tačka O i leži u ravni postoji jedinstvena tačka X takva da je OX=r.

Definicija 1

Skup svih tačaka ravni čija je udaljenost od date tačke O te ravni jednaka datoj duži nazivamo kružnica s centrom u O i poluprečnikom (radijusom) r.

Poluprečnik kružnice je duž koja spaja centar kružnice sa bilo kojom tačkom kružnice.

Prava koja prolazi kroz centar kružnice naziva se centralna prava kružnice. Centar O dijeli centralnu pravu na dvije poluprave koje imaju tačno jednu tačku sa kružnicom, odnosno centralna prava i kružnica imaju dvije zajedničke tačke.

Duž PQ koja spaja centralno simetrične tačke kružnice nazivamo 'prečnik (dijametar ili promjer)' kružnice. Ako je PQ prečnik kružnice onda je PO=OQ odnosno O je sredina prečnika.

Duž koja spaja dvije tačke kružnice nazivamo tetiva. Prečnik je tetiva na kojoj leži centar kružnice.

Centralna prava dijeli ravan kružnice na dvije poluravni odnosno tačke kružnice dijeli na dva skupa.-

• skup koji leži u jednoj poluravni
• skup koji leži u drugoj poluravni. Ovi skupovi su polukružnice.

Kružnice koje imaju isti centar kažemo da su koncentrične.

Ugao čiji je vrh u centru kružnice nazivamo centralni ugao.

Dio kružnice koji pripada centralnom uglu nazivamo luk. Centralnom uglu odgovara određen luk. Luk koji odgovara ravnom uglu je polukružnica. Luk koji odgovara nultom uglu svodi se na tačku. Punom uglu odgovara kao luk cijela kružnica.

Jednačina kružnice

U pravouglim koordinatama jednačina kružnice glasi

$(x-p{)}^2+(y-q{)}^2=r^2$.

Ova je jednačina drugog reda. Jednačina kružnice može se napisati i na sljedeći način

$\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1$. Ovo je segmentna jednačina.

Kružnica sa središtem u tački $S(p,q)$ i poluprečnikom $r$ određena je jednačinom:

$(x-p{)}^2+(y-q{)}^2=r^2$

ili

$\frac{(x-p{)}^2}{r^2}+\frac{(y-q{)}^2}{r^2}=1$ segmentna jednačina

Opšti pojmovi

Obim kružnice је $O=2r\pi$, a kružnica predstavlja periferiju kruga.

Površina omeđena kružnicom је $P=r^2\pi$.

Koncentričnne kružnice su kružnice koje imaju zajednički centar i leže u jednoj ravni. Centralni ugao je dvostruko veći od perifernog ugla nad istom tetivom.

Periferni ugao nad prečnikom je prav

Ugao između tetive i tangente povučene iz jedne tačke kružnice jednak je perifernom uglu nad tom tetivom

Periferni uglovi nad istom tetivom su isti ili suplementni .

Rastojanje tačke od kružnice

Spojimo tačku C sa tačkama kružnice K(O,r). Ovako dobijamo beskonačan skup duži za C ≠ O. U slučaju C = O to je nulta duž.

Postavlja se pitanje , postoji li u ovom skupu duž od koje ni jedna duž skupa nije manja i takva duž koja nije manja ni od jedne duži skupa?

To su duži CA i CB ,gdje su A, B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj koja prolazi kroz C. Tačka A je s one strane tačke O s koje je C, a B sa suprotne strane.

Definicija 2

Element m skupa E ( u kome između elemenata postoji relacija < ili > ) koji nije veći ni od jednog elementa skupa naziva se minimum (najmanji element skupa E). Element koji nije manji ni od jednog elementa skupa je maximum (najveći) element skupa E.

U navedenom slučaju duži AB i AC su minimum i maximumu u skupu duži.

Definicija 3

Minimum skupa rastojanja date tačke od skupa naziva se rastojanje te tačke od skupa.

Teorema 1

Neka je data tačka C i kružnica K(O,r) i pri tom C ≠ O i neka su tačke A ,B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj, koja prolazi tačkom C. Tačka A neka je s one strane s koje je tačka O, a B sa suprotne strane od O. Tada od svih tačaka križnice tačka A ima najmanje ,a tačka B najveće rastojanje od C i pri tome je

CA = │CO - r│ i CB = CO + r

Beskonačni skupovi ne moraju imati minimumu i maximumu.

Primjer

Skup brojeva 1,1/2, ¼, 1/8,...ima maximumu a nema minimum

Zajedničke tačke kružnica

Neka su zadane dvije kružnice K(C, R) i k(O,r). Odredimo međusobni položaj ovih kružnica. Povučemo li centralnu pravu CO ovih kružnica, sa A, B označimo tačke druge kružnice i to sa A onu koja leži sa one strane od tačke O sa koje je tačka C, a sa B tačku drugr kružnice.

Posmatrajmo duži R – r, CO i R + r za R > r Između ovih duži postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa

1. $CO>R+r$
2. $CO=R+r$
3. $R-r<CO<R+r$
4. $CO<R-r(R>r)$
5. $CO=R-r(R>r)$

Presjek kružnica prazan skup

• Za $CO>R+r<=>CO-r>R<=>CA>R$

Sve tačke jedne kružnice su izvan druge kružnice.

• $O<R-r<=>CO-r<R<=>CB<R$

Sve tačke jedne kružnice su unutar druge kružnice.

Tangenta kružnice

Tangenta kružnice sa središtem $S(0,0$

Tangenta kružnice koja ima središte u koorinantnom početku koordinatnog sistema i koja prolazi točkom $T(x_0,y_0)$

na kružnici, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:

$2xdx+2ydy=0$

odakle slijedi da je

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\tan \alpha =-\frac{x_0}{y_0}$

jednačina tangente na kružnicu

$y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_0)$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice

$x_{0}x+y_{0}y=r^2$.

Tangenta kružnice sa središtem u $S(p,q)$

Tangenta kružnice koja ima središte u tački $S(p,q)$ i koja prolazi tačkom $T(x_0,y_0)$ na kružnici određena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:

$2(x-p)dx+2(y-q)dy=0$

odakle slijedi da je

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\tan \alpha =-\frac{x_0-p}{y_0-q}$

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente kružnice

$y-y_0=-\frac{x_0-p}{y_0-q}(x-x_0)$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice

$(x_0-p)(x-p)+(y_0-q)(y-q)=r^2$.

Tangiranje kružnica

• $CO=R+r<=>CO-r<R<=>CA=R$

Tačka A druge kružnice pripada tačkama prve kružnice. Sve ostale tačke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku i ona leži na pravoj CO kažemo da se one dodiruju izvana u tački A.

• $CO=R-r(R>r)<=>CO-r=R<=>CB=r$

Tačka B pripada prvoj kružnici sve ostale tačke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dvije kružnice imaju dijametralno raspoređene dvije zajedmočke tačke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te dvije tačke koje leže na pravoj . za svaku od te dvije kružnice pa se one poklapaju.

Presjek kružnica

R – r < CO < R + r ( R < r)

• A je u, B izvan K(C,R)
• R – r < CO => CB > R

B je van K (C,R) CO < R + r => CA < RA je u kružnici. Od dvije dijametralno raspoređeme tačke jedna je u ,a druga van kružnice. Tačke A , B diele kružnicu na dva dijela

Aksioma 2

Ako se jedan kraj luka nalazi u kružnici a drugi izvan je onda taj luk sa kružnicom ima jednu i samo jednu zajednićku tačku.

Teorema 2

Zajednička tačka dviju kružnica koje se dodiruju leži na njihovoj zajedničkoj centralnoj pravoj i obratno dvije različite kružnice koje imaju zajedničku tačku na centrlnoj pravoj dodiruju se. Ako dvije kružnice imaju zajedničku tačku koja ne leži na centralnoj pravoj imaju još jednu zajedničku tačku.

Teorema 3

Dvije kružnice K(C,R) i k(O,r)

• Nemaju zajedničkih tačaka ako i samo ako je
  • CO > R + r ( svaka od križnica je izvan druge kružnice)
  • CO < R -r( kružnica manjeg prečnika je unutar kružnic većeg prečnika)
• Imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku koja leži na zajedničkoj centralnoj pravoj
  • CO = R + r sve tačke kružnice osim zajedničke su izvan druge kružnice
• R – r < CO<R + r imaju dvije i samo dvije zajedničke tačke koje leže sa raznih strana centralne prave.

Teorema 4

Da bi dvije kružnice imale zajedničkih tačaka u sličaju da se centar prve kružnice nalazi

1. na drugoj kružnici
2. u drugoj kružnici

potrebno je i dovoljno da bude

1. R ≤ 2r
2. CA < R < CB

gdje su CA i CB odsječci na koje centar O dijeli dijametar AB kružnice k(O, r).

Polara kružnice

Konjugovane tačke u odnosu na kružnicu

Tačke P i P ₁ su konjugovane u odnosu na kružni cu ako zadovoljavaju formulu

$\overrightarrow{OM}$ $\overrightarrow{ON}$ = $R^2$

Ovo je jednačina polare kružnice . Skup konjugovanih tačaka kružnice je prava.

1. Polara siječe kružnicu ako je tačka M van križnice.
2. tangenta je kružnice ako je M na kružnici
3. Nema ztajedničkoh tačaka ako je M u kružnici
4. Prolazi kroz centar kružnice ako je M u beskonačnosti

« Ako je $O\equiv M$ onda je polara u beskonačnosti.

$\overrightarrow{OM}$ $\overrightarrow{OP}$ = $R^2$

$OA$= -$OB$

$O{A}^2$=$O{B}^2$

($O{A}^2$-$O{B}^2$)=0

($AO$+ $OM$)($BO$+ $OM$)=0

$AM$ $BM$=0

Apolonijeva kružnica

Geometrijsko mjesto tačaka ravni koje imaju osobinu da je odnos udaljenosti tih tačaka stalan broj je kružnica – Apolonijeva kružnica

$\frac{MA}{MB}=$=$k$ $\Rightarrow$$MA$ =$kMB$$\Rightarrow$$M{A}^2$ =$k^{2}M{B}^2$

$(MA+kMB)$$(MA-kMB)$=0

$\frac{MA-kMB}{1-k}$ $\frac{MA+kMB}{1+k}$ =0

Za mjenom

$\frac{MA-kMB}{1-k}$ sa $MC$ i

$\frac{MA+kMB}{1+k}$ sa $MD$

Imamo $MC$ $MD$=0 kružnica sa prečnikom CD.

Kružnice u p-normama i brojevi ${\pi }_p$

Dosad smo udaljenost računali pomoću metrike $d_2$. Za definisanje pojma kružnice možemo, umjesto metrike $d_2$, uzeti neku drugu metriku d.

Skup

$S=(x,y)\in R^2:d((x,y),(x_0,y_0))=r$

predstavlja kružnicu radijusa r sa sredisstem u ($x_0,y_0$) s obzirom na metriku d.

Kružnica radijusa r sa sredistem u koordinantnom početku s obzirom na $d_p$ je skup

$S_p=(x,y)\in R^2:x^p+y^p=r^p$ za $p\ge 1$

Na ovoj slici prikazane su kružnice $S_1,S_{2}i{S}_{\mathrm{\infty }}$

Kada bismo nacrtali i ostale kružnice $S_p$, sve bi one bile smještene između $S_1$ i $S_{\mathrm{\infty }}$, i što bi p bio veći, to bi kružnica $S_p$ bila bliže kružnici $S_{\mathrm{\infty }}$. To nam je jasno iz teorema za max- normu.

Uzmimo $r=1$. Neka je

$(x,y)\in R^2(x,y)\ne (0,0)$

Tada tačka

$\frac{1}{\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }(x,y)$ leži na kružnici $S_1$ ,jer je

$\Vert \begin{array}{c}\frac{1}{{\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_1}(x,y)\end{array}\Vert =1$

Sa slike se vidi da kružnica $S_1$ leži unutar kružnice $S_2$ pa je tačka

$\frac{1}{\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }(x,y)$ unutar kružnice $S_2$ tj

$\Vert \begin{array}{c}\frac{1}{{\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_1}(x,y)\end{array}\Vert \le 1$

vrijedi

${\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_2\le {\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_1$

Kada bismo nacrtali kružnicu radiusa $\sqrt{2}$ u odnosu na metriku $d_1$ odnosno $\sqrt{2}{S}_1$ kružnica $S_2$ bila smještena unutar nje.

${\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_1\le \sqrt{2}{\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_2$ ${\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_2\le {\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_1\le \sqrt{2}{\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_2$

Propozicija

Za sve $p,q\ge 1$

${\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_p\le \sqrt[p]{\sqrt{2}}{\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

$\sqrt[p]{{}^{-1}}{\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_q\le {\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_p\le \sqrt[p]{2}{\Vert \begin{array}{c}(x,y)\end{array}\Vert }_q$

Geometrijski oblik kružnice zavisi o odabranoj metrici.

Izračunajmo obim $O_p$ kružnica $S_p$.

Obim kružnice $S_2$ je $O_2=2r\pi$

$O_1=4d_2((r,0)(0,r))=4(|r-0|+|0-r|)=8r$

$O_{\mathrm{\infty }}=4d_{\mathrm{\infty }}((r,-r),(r,r))=max(|r-r|,|-r-r|)=8r$

U obima $O_1$ i $O_{\mathrm{\infty }}$ ne pojavljuje se $\pi$.

Neka je $c_p$ četvrtina kružnice $S_p$ koja pripada prvom kvadrantu. Tada je

$\underset{c_p}{\int }d{s}_{p}dx$

$d{s}_p$ je element dužine

$d{s}_p=\sqrt[p]{|dx{|}^p+|dy{|}^p}=\sqrt[p]{|x^{\prime }(t){|}^p+|y^{\prime }(t){|}^p}dt$

Za $p=2$ imamo

$d{s}_2=\sqrt{(dx{)}^2+)(dy{)}^2}$

Za parametrizaciju krive $c_p$ uzmimo

$x(t)=r\sqrt[p]{t}$

$y(t)=r\sqrt[p]{1-t}$ za $t\in [0,1]$

$d{s}_p=\frac{r}{p}\sqrt[p]{t^{1-p}+(1-t{)}^{1-p}}dt$

Za $p\ne \mathrm{\infty }$

$O_p=\frac{4r}{p}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[p]{t^{1-p}+(1-t{)}^{1-p}}dt$

Pošto su nam iznosi za $O_1$ i $O_2$ poznati, gornju formulu možemo provjeriti uvrštavanjem $p=1$ i $p=2$.

Za $p=1$

$O_1=4r\underset{0}{\overset{1}{\int }}(t^{1-1}+(1-t{)}^{1-1})dt=4r\underset{0}{\overset{1}{\int }}2dt=8r$

Za $p=2$

$O_2=\frac{4r}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[2]{t^{1-2}+(1-t{)}^{1-2}}dt$

$O_2=2r\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[2]{\frac{1}{t}-\frac{1}{1-t}}dt$

$O_2=2r\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[2]{\frac{1}{(\frac{1}{2}{)}^2-(t-\frac{1}{2}{)}^2}}dt=2r\arcsin (2t-1){|}_0^1$

$O_2=2r\arcsin (1)-2r\arcsin (1)=2r\pi$

Za svaki $p$ razmjera $\frac{O_p}{2r}$ obima $O_p$ i prečnika $2r$ kružnice je konstantan. Tu razmjeru označavamo sa ${\pi }_p$ i iznosi

${\pi }_p=\frac{2}{p}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[p]{t^{1-p}+(1-t{)}^{1-p}}dt$

Očito je

${\pi }_1=4$, ${\pi }_2=\pi$, ${\pi }_{\mathrm{\infty }}=4$

Također pogledajte

• Sfera

Izvor

p-norme na $R^2$ , kružnice $S_p$ i brojevi ${\pi }_p$ // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)