Trougao

Trougao ili trokut je poligon koji ima tri stranice i tri ugla. Jedan je od osnovnih oblika u geometriji. Trougao sa uglovima u tačkama A, B i C se označava kao $△ A B C$ . Zbir svih unutrašnjih uglova u trouglu iznosi 180°.

Vrste trouglova

Trouglovi se mogu razlikovati na osnovu dužina stranica, odnosno njihovom međusobnom odnosu kao i veličini unutrašnjih uglova.

Prema unutrašnjim uglovima

Pravougli trougao

Šablon:Glavni

Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.

Obim je

O = a + b + c

Površina je

P = \frac{a b}{2} = \frac{c h_{c}}{2}

Prečnik opisanog kruga: $R = 2 t_{c} = c$

Tupougli trougao

Šablon:Glavni

Tupougli trougao je trougao kod kojeg je jedan unutrašnji ugao veći od 90 stepeni i taj ugao se naziva (tupi ugao).

Oštrougli trougao

Šablon:Glavni

Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manja od 90 stepeni (kosi uglovi).

Pravougli trougao
Tupougli trougao
Oštrougli trougao

Osim uglova, trouglovi se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:

Prema stranici i njihovom međusobnom odnosu

Jednakostranični trougao

Šablon:Glavni

Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.

α = β = γ = 6 0^{o}

a = b = c

Obim

O = 3 a

Površina

P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{h^{2} \sqrt{3}}{3}

Visina

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Poluprečnik opisanog kruga

R = \frac{2}{3} h = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Poluprečnik upisanog kruga

r = \frac{1}{3} h = \frac{a \sqrt{3}}{6}

Jednakokraki trougao

Šablon:Glavni

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Iste stranice jednakokrakog trougla nazivaju se kraci a preostala stranica je osnovica. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla.

α \neq β = γ

a \neq b = c

Obim

O = a + 2 b

Površina je

P = \frac{a h_{a}}{2} = \frac{b h_{b}}{2} = \frac{a}{4} \sqrt{4 b^{2} - a^{2}}

Visina

h_{a}^{2} = b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}

Raznostranični trougao

Šablon:Glavni Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također različiti.

α \neq β \neq γ

a \neq b \neq c

Poluprečnik opisamog kruga

2 R = \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Jednakostranični trougao
Jednakokraki trougao
Raznostranični trougao

Obim trougla

Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.

O = a + b + c

Obim jednakokrakog trougla je

O = a + 2 b

Obim istostraničnog trougla je

O = 3 a

Površina

Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.

P = (b·h)/2,

Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): $P = \sqrt{(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))}$ gdje je $s$ poluobim trougla; $s = (a + b + c) / 2$

P = \frac{a b c}{4 R} = r s

P = \frac{a b \sin γ}{2} = \frac{b c \sin α}{2} = \frac{a c \sin β}{2}

Neka su date koordinate vrhova trougla

A (x_{1}, y_{1})

,

B (x_{2}, y_{2})

,

C (x_{3}, y_{3})

površina trougla je

P = \frac{(x_{2} - x_{1}) (y_{2} + y_{1}) + (x_{3} - x_{2}) (y_{3} + y_{2}) + (x_{1} - x_{3}) (y_{1} + y_{3})}{2}

Osobine trouglova (teoreme)

Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).

α + β + γ = 18 0^{o}

.

Treba istaći da ova jednakost važi samo u Euklidskoj geometriji, a ne u drugim tipovima geometrije, kao što je sferna geometrija i hiperbolična geometrija, gdje je ova suma veća ili manja od 180 °;

Zbir spoljašnjih uglova iznosi

36 0^{o}

.

α_{1} + β_{1} + γ_{1} = 36 0^{o}

.

Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao

α_{1} + α = 18 0^{o}

β_{1} + β = 18 0^{o}

γ_{1} + γ = 18 0^{o}

Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja ugla.

α_{1} = β + γ

β_{1} = α + γ

γ_{1} = α + β

Zbir dužina dvije stranice trougla veći je od dužine treće stranice, a razlika manja.
Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:

\frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (B)} = \frac{c}{\sin (C)}

Značajne tačke trougla

Centar opisane kružnice trougla

O_{o}

nalazi se u presjeku simetrala stranica trougla a poluprečnik je

R = O_{o} A = O_{O} B = O_{o} C

Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.

Centar upisane kružnice trougla

O_{u}

nalazi se u presjeku simetrala uglova trougla a poluprečnik je

r = O_{u} P

Težište trougla T nalazi se u presjeku težišnih duži trougla

t_{a} \cap t_{b} \cap t_{c} = T

T A = 2 T A_{1}

T B = 2 T B_{1}

T C = 2 T C_{1}

Ortocentar trougla H nalazi se u presjeku pravih kojima pripadaju visine trougla

h_{a} \cap h_{b} \cap h_{c} = H

Sličnost trougla

Dva trougla su slična ako imaju dva ugla jednaka.

Dva trougla su slična ako su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.

\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{A C}{A_{1} C_{1}} = k

;

∡ α = > ∡ α_{1} = >

:

△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}

Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična

\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{A C}{A_{1} C_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}} = k = >

; <

△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}

Ako se stranice dva slična trougla odnose kao :

m : n

tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu :

O : O_{1} = m : n

, a površine se odnose kao :

P : P_{1} = m^{2} : n^{2}

.

Ako je dužina hipotenuze

c = p + q

onda primjena sličnosti na pravougli trougao imamo

a^{2} = q c

b^{2} = p q

{h_{c}}^{2} = p q

Trougao u kompleksnoj ravni

Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.

Trouglovi $A_{1} A_{2} A_{3}$ i $B_{1} B_{2} B_{3}$ su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je $\frac{a_{2} - a_{1}}{a_{3} - a_{1}} = \frac{b_{2} - b_{1}}{b_{2} - b_{1}}$

Dokaz

$△ A_{1} A_{2} A_{3} \sim △ B_{1} B_{2} B_{3}$ onda i samo onda ako je $A_{1} A_{2} / A_{1} A_{3} = B_{1} B_{2} / B_{1} B_{3}$

$| \begin{matrix} \frac{a_{2} - a_{1}}{a_{3} - a_{1}} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \frac{b_{2} - b_{1}}{b_{3} - b_{1}} \end{matrix} |$ i $a r g \frac{a_{2} - a_{1}}{a_{3} - a_{1}} = a r g \frac{b_{2} - b_{1}}{b_{2} - b_{1}}$

Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa

$\frac{a_{2} - a_{1}}{a_{3} - a_{1}} = \frac{b_{2} - b_{1}}{b_{2} - b_{1}}$

Ovaj uslov je ekvivalentan sa uslovom

$| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = 0$

Lako je provjeriti da za trouglove $A_{1} (0)$ , $A_{2} (1)$ , $A_{3} (2 i)$ i $B_{1} (0), B_{2} (- i), B_{3} (- 2)$ ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi slijedeći stav.

Ako su tjemena $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ trougla $A_{1} A_{2} A_{3}$ određena su kompleksnim brojevima $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ respektivno, tada su slijedeća tvrđenja ekvivalentna:

$A_{1} A_{2} A_{3}$ je jednakostraničan trougao
$∣ z_{1} - z_{2} ∣ = ∣ z_{2} - z_{3} ∣ = ∣ z_{3} - z_{1} ∣$
$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = z_{1} z_{2} + z_{2} z_{1} + z_{3} z_{1}$
$\frac{z_{2} - z_{1}}{z_{3} - z - 1} = \frac{z_{3} - z_{2}}{z_{1} - z - 2}$
$\frac{1}{z - z_{1}} + \frac{1}{z - z_{2}} + \frac{1}{z - z_{3}} = 0$ gdje je $z = \frac{z_{1} + z_{2} + z_{3}}{3}$
(z_1+ \epsilon z_2+ \epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+ \epsilon z_3)=0 za $ϵ = \cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3}$
$| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \\ z_{2} & z_{3} & z_{1} \end{matrix} | = 0$

Ako su tjemena $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ pozitivno orjentisanog trougla $A_{1} A_{2} A_{3}$ sljedeća tvrđenja su ekvivalentna

$A_{1} A_{2} A_{3}$ je jednakostraničan trougao
$z_{3} - z_{1} = ϵ (z_{2} - z_{1})$ za $ϵ \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}$
$z_{2} - z_{1} = ϵ (z_{3} - z_{1})$ za $ϵ \cos \frac{5 π}{3} + i \sin \frac{5 π}{3}$
$z_{1} + ϵ z_{2} + ϵ^{2} z_{3} = 0$ ^[1]

Također pogledajte

Šablon:Commonscat

Šablon:Stub-mat

Reference

Šablon:Mnogouglovi

↑ Primene kompleksnih brojeva u geometriji/Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.

[1] Primene kompleksnih brojeva u geometriji/Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.

[1]

Trougao

Sadržaj

Vrste trouglova

Prema unutrašnjim uglovima

Pravougli trougao

Tupougli trougao

Oštrougli trougao

Prema stranici i njihovom međusobnom odnosu

Jednakostranični trougao

Jednakokraki trougao

Raznostranični trougao

Obim trougla

Površina

Osobine trouglova (teoreme)

Značajne tačke trougla

Sličnost trougla

Trougao u kompleksnoj ravni

Također pogledajte

Reference

Navigacija

Trougao

Vrste trouglova

Prema unutrašnjim uglovima

Pravougli trougao

Tupougli trougao

Oštrougli trougao

Prema stranici i njihovom međusobnom odnosu

Jednakostranični trougao

Jednakokraki trougao

Raznostranični trougao

Obim trougla

Površina

Osobine trouglova (teoreme)

Značajne tačke trougla

Sličnost trougla

Trougao u kompleksnoj ravni

Također pogledajte

Reference

Navigacija

Pretraga