Kompleksan broj

malo

Kompleksni brojevi su oni brojevi koji proširuju skup realnih brojeva na način da jednačina $x^2+1=0$ ima rješenje. Ono je moguće uvođenjem novog imaginarnog broja $\mathrm{i}$ koji ima osobinu ${\mathrm{i}}^2=-1$. Ovaj broj $\mathrm{i}$ označava se kao imaginarna jedinica. U elektrotehnici za njegovo označavanje koristi se slovo $\mathrm{j}$, kako bi se izbjegla zabuna sa oznakom za jačinu struje zavisne od vremena (koja se označava sa $i$ ili $i(t)$).

Pojam "kompleksnih brojeva" uveo je Carl Friedrich Gauß 1831. u djelu Theoria residuorum biquadraticorum. Međutim, temelje teorije kompleksnih brojeva postavio je italijanski matematičar Gerolamo Cardano u djelu Ars magna objavljenom u Nürnbergu 1545. te Rafael Bombelli u djelu L'Algebra objavljenom u Bologni 1572. a napisanom između 1557. i 1560. Uvođenje imaginarne jedinice $\mathrm{i}$ kao novog broja pripisuje se Leonhardu Euleru.

Definicije

U skupu realnih brojeva $ℝ$ jednačina $x^2-1=0$ ima dva rješenja

$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$

Slična jednačina $x^2+1=0$ u skupu $ℝ$ nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica $i$ definisana na sljedeći način $i^2=-1$ tj

$x^2+1=0\Rightarrow x=\pm i$. Iz ove definicije slijedi

$i^2=-1,i^3=-i,i^4=-i\cdot i=-(-1)=1,i^5=i,i^6=-1,\dots$.

Na ovaj način dobili smo skup kompleksnih brojeva. Kompleksan broj je broj oblika

$x+yi$

gdje su x i y realni brojevi, a i se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu i² = -1.

Realni broj $x$ se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa $\mathrm{Re}(z)$, a $y$ se naziva imaginarni dio i označava se sa $\mathrm{Im}(z)$.

Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj x možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je y = 0, tj. $x=x+0i$.

Povremeno se moze naići na definiciju $i=\sqrt{-1}$. U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat. $\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{1}=1$. U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja $i=\sqrt{-1}$imamo: $i\cdot i=-1$ što je i korektan rezultat.

Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni vektori ili uređeni parovi $(x,y)$ realnih brojeva.

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja $\sqrt{-1}$ .

S druge strane, zapis oblika $z=x+yi$ pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

$z=x+yi$ i

$z=(x,y)$ potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva $ℂ$ je skup svih brojeva oblika $z=x+iy$, gdje su $x,y\in ℝ$.

Posebno je $0=0+i0$.

$x=\mathrm{Re}z$ je realni dio kompleksnog broja $z$,

$y=\mathrm{Im}z$ je imaginarni dio kompleksnog broja $z$.

Algebarski oblik kompleksnog broja je

$z=x+iy$ za $x,y\in ℝ$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta ),r\ge 0,\theta \in ℝ$

pri čemu je

$r=|z|$ modul

$\theta =\mathrm{Arg}z$ argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

$z=r^{i\theta }$ za $r\ge 0,\theta \in ℝ$

pri čemu je

$r=|z|$ modul

$\theta =\mathrm{Arg}z$ argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

$z_1=z_2\iff (\mathrm{Re}(z_1)=\mathrm{Re}(z_2)\wedge \mathrm{Im}(z_1)=\mathrm{Im}(z_2)).$

Konjugirano kompleksni broj broja $z=x+iy$ je broj $\overline{z}=x-iy$.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z$ je nenegativni realni broj $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Operacije s kompleksnim brojevima

malo

U skupu kompleksnih brojeva definisano je sabiranje.

Neka su $z_1=x_1+i{y}_1$ i $z_2=x_2+i{y}_2$ dva kompleksna broja.

$z_1+z_2=x_1+x_2+i(y_1+y_2)$

i oduzimanje

$z_1-z_2=x_1-x_2+i(y_1-y_2)$

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

$z_1+z_2=z_2+z_1$ za $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2\in ℂ$ komutativnost sabiranja

$z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3,$ za $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2,z_3\in ℂ$ asocijativnost sabiranja

$\mathrm{\exists }0\in ℂz+0=z$ za $\mathrm{\forall }z\in ℂ$ neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj $0=(0,0)=0+0i$

$(\mathrm{\forall }z\in ℂ)(\mathrm{\exists }(-z)\in ℂz+(-z)=0$ postojanje inverznog elementa.

Kompleksni broj $-z=(-x,-y)=-x-yi$

Množenje kompleksnih brojeva

Neka su $z_1=x_1+i{y}_1$ i $z_2=x_2+i{y}_2$ dva kompleksna broja.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje $z_1\cdot z_2=(x_1+i{y}_1)(x_2+i{y}_2)=x_1{x}_2+i{y}_1{x}_2+i{x}_1{y}_2+i^2{y}_1{y}_2=x_1{x}_2-y_1{y}_2+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$

Osobine množenja kompleksnih brojeva

$z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1$ za $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2\in ℂ$ komutativnost množenja

$z_1\cdot (z_2\cdot z_3)=(z_1\cdot z_2)\cdot z_3$ za $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2,z_3\in ℂ$ asocijativnost množenja

$\mathrm{\exists }1\in ℂz\cdot 1=z$ za $\mathrm{\forall }z\in ℂ$ neutralni element $1$ za množenje

$(\mathrm{\forall }z\in ℂ)(z\ne 0)(\mathrm{\exists }{z}^{\prime }\in ℂ)z\cdot (-z)=1$ postojanje reciproćnog elemanta

$z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3$ za $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2,z_3\in ℂ$ distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna broja

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$, u oznaci $a\circ b$,je realan broj određen kao

$a\circ b=\frac{1}{2}(\bar{a}b+a\bar{b})$

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima $a=|a|(\cos \phi +i\sin \phi )$ i$b=|b|(\cos \psi +i\sin \psi )$ Lako je provjeriti da je

$a\circ b=|a||b|(\cos \phi +i\sin \psi )=|OA||AB|\cos \widehat{AOB}$

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

1. $a\circ a=|a{|}^2$
2. $a\circ b=b\circ a$
3. $\overline{a\circ b}=a\circ b$
4. $(\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)$
5. $(az)(bz)=|z{|}^2(a\circ b)$
6. $a\circ b=0\iff OA\perp OB$ (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$)

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$ jednak je potenciji koordinantnog početka $O$ kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik $AB$, gdje su $A$ i $B$ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$.

Tačka $M$ je sredina duži AB određena kompleksnim brojem $\frac{a+b}{2}$, potencija tačke $O$ u odnosu na krug sa središtem u tački $M$ i poluprečnikom

$r=\frac{a-b}{2}=\frac{|a-b|}{2}$ jednaka je

$O{M}^2-r^2=\left|\frac{a+b}{2}\right|-\left|\frac{a-b}{2}\right|=\frac{(a+b)(\bar{a}+\bar{b})}{4}-\frac{(a-b)(\bar{a}-\bar{b})}{4}=a\circ b$

Neka su tačke $A$,$B$,$C$,$D$ taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$, $b$, $c$, $d$. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

1. $AB\perp CD$
2. $(a+b)\circ (c+d)=0$
3. $\frac{b-a}{d-c}\in iℝ\left\{\begin{array}{c}0\end{array}\right\}$
4. $\mathrm{Re}\left(\frac{b-a}{d-c}\right)=0$

Središte kružnice opisane oko trougla $ABC$ nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena $A$, $B$, $C$ trougla $ABC$ određena kompleksnim brojevima $a$, $b$, $c$ respektivno, tada je ortocentar $H$ tog trougla određen kompleksnim brojem $h=a+b+c$.

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

$a\times b=\frac{\bar{a}b-a\bar{b}}{2}$ nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva $a$ i $b$.

Neka su $A$ i $B$ tačke određene kompleksnim brojevima $a=|a|(\cos \phi +i\sin \phi )$ i $a=|b|(\cos \psi +i\sin \psi )$ Lako je provjeriti da je

$|a\times b|=|a||b|\sin (\phi -\psi )=|OA||AB|\sin \widehat{AOB}=2P_{AOB}$

Neka su $a$, $b$, $c$ kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

1. $\overline{a\times b}=-a\times b$
2. $a\times b=0\iff a=0\vee b=0\vee a=\lambda b$ gdje je $\lambda \in ℝ\left\{\begin{array}{c}0\end{array}\right\}$
3. $a\times b=-b\times a$
4. $\alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)$ ( $\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ$ )

Ako su $A(a)$ i $B(b)$ dvije različite tačke različite od $O(0)$, tada je $a\times b=0$ onda i samo onda ako su $O$, $A$,$B$ kolinearne tačke.

Neka su $A(a$) i $B(b$) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva $a$ i $b$ ima sljedeći geometrijski smisao

$a\times b=\{\begin{array}{c}2i{P}_{AOB}\text{ za trougao }AOB\text{ pozitivno orijentisan}\\ -2i{P}_{AOB}\text{ za trougao }AOB\text{ negativno orijentisan}\end{array}$ Neka su $A(a)$, $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

$P_{ABC}=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}(a\times b+b\times c+c\times a)\text{ ako je }ABC\text{ pozitivno orjentisan}\\ \frac{1}{2}(a\times b+b\times c+c\times a)\text{ ako je }ABC\text{ negativno orjentisan}\end{array}$

Neka su $A(a)$, $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

1. Tačke $A$,$B$,$C$ su kolinearne
2. $(b-a)\times (c-a)=0$
3. $a\times b+b\times c+c\times a=0$

Neka su $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ i $D(d)$ četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je $AB\parallel CD$ onda i samo onda ako je $(b-a)\times (d-c)=0$

Dijeljenje kompleksnih brojeva

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+i{y}_1}{x_2+i{y}_2}\cdot \frac{x_2-i{y}_2}{x_2-i{y}_2}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{y_1{x}_2-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2},\text{za}{z}_2\ne 0$

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

$\mathrm{\forall }z\in ℂ)(z\ne 0)\mathrm{\exists }{z}^{\prime }\in ℂ$

Neka je $z=x+yi\ne 0$ bilo koji. Onda je $x^2+y^2\ne 0$ pa je dobro definisan broj

$z^{\prime }=\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i$

$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i.$

imamo

$z^{\prime }\cdot z=z\cdot z^{\prime }=1$

$z^{\prime }=z^{-1}=\frac{1}{z}$

Konjugovano kompleksni brojevi

malo

Kompleksan broj $\bar{z}=x-yi=r^{-i\theta }$ nazivamo konjugovanim broju $z=x+yi=r^{i\theta }$.

Brojevi $z$ i $\bar{z}$ čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

$\mathrm{Re}z=\frac{1}{2}(z+\bar{z})$

$\mathrm{Im}z=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})$

Lako se provjerava da vrijedi

1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
2. $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$
3. $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$
4. $\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_1}}$

Neka je $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r\mathrm{cis}\theta$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$z^2=z\cdot z$

$z^2=r\mathrm{cis}\theta \cdot r\mathrm{cis}\theta =r^2\mathrm{cis}(\theta +\theta )=r^2\mathrm{cis}2\theta$

$z^3=r^2\mathrm{cis}2\theta \cdot r\mathrm{cis}\theta =r^3\mathrm{cis}(2\theta +\theta )=r^3\mathrm{cis}3\theta$

$z^4=r^3\mathrm{cis}3\theta \cdot r\mathrm{cis}\theta =r^4\mathrm{cis}(3\theta +\theta )=r^4\mathrm{cis}4\theta$

Na ovaj način dobijamo opći oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$z^n=r^n\mathrm{cis}n\theta$ ili

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta (n\in Z)$

Stepenovanje kompleksnog broja

$z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )=r^n{e}^{in\theta }$ za $n\in N$.

$z^m{z}^n=z^{m+n}$

$(z_1{z}_2{)}^n=(z_1{z}_2{)}^n$

$(z^m{)}^n=z^{mn}$

Potencije imaginarne jedinice

$i^{4k}=1$

$i^{4k+1}=i$

$i^{4k+2}=-1$

$i^{4k+3}=-i$

Korjenovanje kompleksnog broja

$\sqrt[n]{z}=\left\{\begin{array}{c}{u}_0,u_1...u_n\end{array}\right\}$ za $n\in N$

gdje je

$u_k=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\sqrt[n]{r}}{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n})$ za $k=0,1,\dots ,(n-1)$

$u_k=\sqrt[n]{r}{e}^{i(\theta +2k\pi )/2}$ za $k=0,1,\dots ,(n-1)$

Kvadratni korjen imaginarnog broja

$\sqrt{i}=\frac{1}{2}\sqrt{2}+i\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

$i=(a+bi{)}^2$

$i=a^2+2abi-b^2.$

Dobijamo dvije jednačine

$\{\begin{array}{c}2ab=1\\ a^2-b^2=0\end{array}$

čija su rješenja

$a=b=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Izbor glavnog korjena daje

$a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

$i=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)$

$\begin{array}{cc}\sqrt{i}& ={(\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right))}^{\frac{1}{2}}\\ & =\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}+i\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i).\\ \end{array}$

Apsolutna vrijednost argumenta

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja $z=x+yi$ je

$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

$|z{|}^2=z\overline{z}=x^2+y^2.$

$\phi =\arg (z)=\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{y}{x})& \text{if }x>0\\ \arctan (\frac{y}{x})+\pi & \text{if }x<0\text{ and }y\ge 0\\ \arctan (\frac{y}{x})-\pi & \text{if }x<0\text{ and }y<0\\ \frac{\pi }{2}& \text{if }x=0\text{ and }y>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{if }x=0\text{ and }y<0\\ \text{indeterminate }& \text{if }x=0\text{ and }y=0.\end{array}$

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

$\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)=\cos (a+b)$

$\cos (a)\sin (b)+\sin (a)\cos (b)=\sin (a+b)$

imamo

$z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)).$

Primjer

$(2+i)(3+i)=5+5i.$

$\frac{\pi }{4}=\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}$

Dijeljenje

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)).$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Ponekad je kompleksne brojeve potrebno pisati u trigonometrijskom obliku

$a+bi=\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi )$

$\rho =\sqrt{a^2+b^2},\varphi =\arctan \frac{b}{a}$, za $a>0$ i $\varphi =\pi +\arctan \frac{b}{a}$ za $a<0$; kada je $a=0$ onda je $\varphi =\frac{\pi }{2}$, ako je $b>0$ i $\varphi =-\frac{\pi }{2}$, ako je $b<0$

Broj $\rho$ se naziva modul kompleksnog broja , a $\varphi$ је argument kompleksnog broja

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

$z_1=r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)$ i $z_2=r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)$

onda je

Sada, kada smo odredili brojeve, mogu se pomnožiti: $z_1{z}_2=r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)=$

$r_1{r}_2(\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2+i\cos {\phi }_1\sin {\phi }_2+i\cos {\phi }_2\sin {\phi }_1+i^2\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2)=$

$r_1{r}_2((\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2-\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2)+i(\cos {\phi }_1\sin {\phi }_2\cos {\phi }_2\sin {\phi }_1)=$

$r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)$

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

$z_1=r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)$ i $z_2=r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)}{r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)}=\frac{r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)}{r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)}\cdot \frac{r_1(\cos {\phi }_2-i\sin {\phi }_2)}{r_2(\cos {\phi }_2-i\sin {\phi }_2)}$

u općem slučaju važi $\frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2-i\cos {\phi }_1\sin {\phi }_2+i\cos {\phi }_2\sin {\phi }_1-i^2\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2}{{\cos }^2{\phi }_2+{\sin }^2{\phi }_2}$

$\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2))=\frac{r_1}{r_2}(\mathrm{cis}({\phi }_1-{\phi }_2))$

De Moavrova formula

Neka je $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r\mathrm{cis}\theta$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$z^2=z\cdot z$

$z^2=r\mathrm{cis}\theta \cdot r\mathrm{cis}\theta =r^2\mathrm{cis}(\theta +\theta )=r^2\mathrm{cis}2\theta$

$z^3=r^2\mathrm{cis}2\theta \cdot r\mathrm{cis}\theta =r^3\mathrm{cis}(2\theta +\theta )=r^3\mathrm{cis}3\theta$

$z^4=r^3\mathrm{cis}3\theta \cdot r\mathrm{cis}\theta =r^4\mathrm{cis}(3\theta +\theta )=r^4\mathrm{cis}4\theta$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$(\cos \varphi +i\sin \varphi {)}^n=\cos n\varphi +i\sin n\varphi$

Također pogledajte

• Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Literatura

1. Kompleksni brojevi
2. Kompleksni brojevi
3. KOMPLEKSNI - BROJEVI
4. Skup kompleksnih brojeva Šablon:Webarchive
5. Moavrova formula i n-ti koren kompleksnog broja, 21. februar 2014
6. Množenje i deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, 19. februar 2014.
7. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja, 17. februar 2014.

Vanjski linkovi

1. A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers