Apsolutna vrijednost

U matematici, apsolutna vrijednost je njegova brojna vrijednost i pri tom se ne uzima predznak broja .

Apsolutna vrijednost |x| realnog broja x je maksimalni element para {x,-x}, koga sačinjavaju broj x i njemu suprotan broj -x. Dakle |-3|=3 jer je 3>-3; |x|=-x ako je -x>x, ili ekvivalentno ako je x<0; |x|=x ako je $x>-x, ili ekvivalentno ako je x>0; |x|=0 tada i samo tada kada je x=0.

Primjer

Brojevi 3 i -3 imaju istu apsolutnu vrijednost 3 .

Definicija

za bilo koji realan broj a apsolutna vrijednost |a| je jednaka broju a a ako je a ≥ 0, i −a ako je a < 0. $| a | = {\begin{matrix} a, & a \geq 0 \\ - a, & a < 0 \end{matrix}$ ^[1] apsolutna vrijednost uvijek je pozitivna tako |a| ne može biti manja od nule ili 0

Apsolutna vrijednost se može uzeti kao udaljenost datog broja od 0 na brojnoj osi.

Osobine

Apsolutna vrijednost broja a ima osobine :

|a| ≥ 0
|a| = 0 akko a = 0.
|ab| = |a||b|
|a/b| = |a| / |b| (ако је b ≠ 0)
|a+b| ≤ |a| + |b| ( nejednakost trougla )
|a−b| ≥ ||a| − |b||
$| a | = \sqrt{a^{2}}$
|a| ≤ b akko −b ≤ a ≤ b
|a| ≥ b akko a ≤ −b ili b ≤ a

iz navedenog imamo :

|x − 3| ≤ 9

−9 ≤ x−3 ≤ 9

−6 ≤ x ≤ 12

Kompleksni brojevi

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja takođe se naziva i modul kompleksnog broja.

Za $z \in ℂ$ data je kao $| z | = \sqrt{z \overline{z}}$ , ( $\overline{z}$ konjugovana vrijednost broja $z$ .

Kako je $z = x + y i$ za $a, b \in ℝ$ , imamo

$| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .^[2]

Kada je kompleksni broj izražen u polarnom obliku.

$z = r e^{i θ}$

Za $r \geq 0$ i $θ$ realno je

$| z | = r$ .

$| z | = \sqrt{z \cdot \overline{z}}$

$| z | \neq \sqrt{z^{2}}$ .

Odnos prema funkciji znaka

$| x | = x sgn (x)$

ili

$| x | sgn (x) = x,$

za $x \neq 0$

$sgn (x) = \frac{| x |}{x} .$

Diferencijal

Apsolutna funkcija realne vrijednosti ima izvod za svaki $x \neq 0$ , ali nije diferencijabilna na $x = 0$ .

\frac{d | x |}{d x} = \frac{x}{| x |} = {\begin{matrix} - 1 & x < 0 \\ 1 & x > 0 . \end{matrix}

Integral

\int | x | d x = \frac{x | x |}{2} + C,

Udaljenost

Euklidska udaljenost između dvije tačke $a = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ i $b = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ je

$\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - b_{i})^{2}} .$

$| a - b | = \sqrt{(a - b)^{2}} .$

Ako su zadane tačke $a = a_{1} + i a_{2}$ i $b = b_{1} + i b_{2}$ imamo

$\| a - b \|$	$= \| (a_{1} + i a_{2}) - (b_{1} + i b_{2}) \|$
	$= \| (a_{1} - b_{1}) + i (a_{2} - b_{2}) \|$
	$= \sqrt{(a_{1} - b_{1})^{2} + (a_{2} - b_{2})^{2}} .$

Prava vrijednost funkcije $d$ na skupu X × X naziva se vrijednost (ili funkcija udaljenosti) na X, ako zadovoljava sljedeće četiri aksiome:

d (a, b) \geq 0

d (a, b) = 0 ⟺ a = b

d (a, b) = d (b, a)

d (a, b) \leq d (a, c) + d (c, b)