0 (broj)

Stari kineski način pisanja brojeva: prazno mjesto znači nula.

Nula (0) je cijeli broj koji nije ni pozitivan ni negativan. On predstavlja praznu količinu. Njegova apsolutna vrijednost je 0. Nula je paran broj. Dodavanje (ili oduzimanje) 0 bilo kojem broju ostavlja taj broj nepromijenjenim; u matematičkoj terminologiji, 0 je aditivni identitet cijelih brojeva, racionalnih brojeva, realnih i kompleksnih brojeva, kao i drugih algebarskih struktura. Množenjem bilo kojeg broja sa 0 dobija se 0, pa dijeljenje nulom nema nikakvog značenja u aritmetici.

Kao brojčani znak, 0 igra ključnu ulogu u decimalnim zapisima: označava da stepen desetice koji odgovara mjestu koje sadrži 0 ne doprinosi ukupnom iznosu. Na primjer, "205" u decimalnom obliku znači dvije stotine, bez desetica i pet jedinica. Isti princip se primjenjuje u notacijama vrijednosti mjesta koje koriste bazu koja nije deset, kao što su binarni i heksadecimalni. Moderna upotreba 0 na ovaj način proizlazi iz indijske matematike koja je prenijeta u Evropu preko srednjovjekovnih islamskih matematičara i popularizirana od strane Fibonaccija. Najranija upotreba koncepta nule pripisuje se civilizacijama Maja, Babilona i Indije (natpis simbola nule iz 9. vijeka na zidu hrama u Gwalioru, država Madhya Pradesh).

Matematika

Koncept nule igra višestruke uloge u matematici: kao cifra, važan je dio pozicijske notacije za predstavljanje brojeva, dok također igra važnu ulogu kao sam broj u mnogim algebarskim postavkama.

Kao cifra

U pozicionim brojevnim sistemima (kao što je uobičajena decimalna notacija za predstavljanje brojeva), cifra 0 igra ulogu čuvara mjesta, što ukazuje da određene moći baze ne doprinose. Na primjer, decimalni broj 205 je zbir dvije stotine i pet jedinica, pri čemu cifra 0 označava da se ne dodaju desetice. Cifra igra istu ulogu u decimalnim razlomcima i u decimalnom predstavljanju drugih realnih brojeva (označavajući da li su prisutne desetine, stotine, hiljade, itd.) i u bazama koje nisu 10 (na primjer, u binarnom, gdje označava koji stepen 2 su izostavljeni).Šablon:Sfn

Osnovna algebra

Broj 0 je najmanji nenegativni cijeli broj, a najveći nepozitivni cijeli broj. Prirodni broj nakon 0 je 1 i nijedan prirodan broj ne prethodi 0. Broj 0 se može, ali i ne mora smatrati prirodnim brojem,Šablon:Sfn ali je cijeli broj, pa stoga racionalan i realan broj.Šablon:Sfn Svi racionalni brojevi su algebarski brojevi, uključujući 0. Kada se realni brojevi prošire da formiraju kompleksne brojeve, 0 postaje ishodište kompleksne ravni.

Broj 0 se ne može smatrati ni pozitivnim ni negativnim ili, alternativno, i pozitivnim i negativnim i obično se prikazuje kao središnji broj u brojevnoj liniji. Nula je parna (tj. višekratnik od 2), a također je celobrojni višekratnik bilo kojeg drugog cijelog, racionalnog ili realnog broja. Ona nije ni prosti niti složen broj: nije prost jer su prosti brojevi po definiciji veći od 1, a nije složen jer se ne može izraziti kao proizvod dva manja prirodna broja. (Međutim, singleton skup {0} je primarni ideal u prstenu cijelih brojeva.)

Slijede neka osnovna pravila za rad sa brojem 0. Ova pravila važe za svaki realan ili kompleksan broj x, osim ako nije drugačije navedeno.

• Sabiranje: dodavanje nule bilo kojem broju ne povećava vrijednost tom broju.

$x+0=0+x=x$

• Oduzimanje: oduzimanje nule od bilo kojeg broja ne smanjuje vrijednost tog broja.

$x-0=x$

oduzimanjem nekog broja od nule mijenja se predznak tog broja

$0-x=-x$

• Množenje: množenje bilo kojeg broja s nulom daje umnožak nula.

$x*0=0*x=0$

• Dijeljenje: dijeljenje bilo kojeg broja s nulom nema rješenje te se kaže da je nedefinirano.

$\frac{x}{0}\ne \mathrm{\infty }$

• Dijeljenje nule nekim brojem različitim od nule daje nulu

$\frac{0}{x}=0$

• Dijeljenje nule nulom je nedefinisano

$\frac{0}{0}$

• Potenciranje: potenciranje bilo kojeg broja (različitog od nule) nulom daje rezultat 1.

$x^0=1$

• potenciranje nule bilo kojim brojem različitim od nule daje nulu.

$0^x=0$

• potenciranje nule nulom daje broj 1

$0^0=1$

Dodatna literatura

• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book

Historical studies

• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book

Vanjski linkovi

• Historija nule
• Zero Saga
• Historija algebre
• Edsger W. Dijkstra: Why numbering should start at zero, EWD831 (PDF rukopisa)
• "My Hero Zero" Obrazovna dječija pjesma u Schoolhouse Rock!