Oduzimanje

Oduzimanje je jedna od četiri osnovne aritmetičke operacije. Suprotna je operacija sabiranja što znači ako broju $x$ dodamo $y$ i od dobijenog broja oduzmemo $y$ ponovno ćemo dobiti $x$. Oduzimanje se označava znakom "-" minus. Za oduzimanje ne vrijedi komutativnost pa dajemo imena članovima. To su umanjenik, umanjilac i razlika. U jednačini $a-b=c$, a je umanjenik, b umanjilac, a c razlika.

• 
  $5-3=2$
• 

Oduzimanje: cijeli brojevi

Zamislimo duž dužine b gdje je lijevi kraj označen sa slovom a, a desni kraj slovom c. Počevši od a, potrebno je b koraka udesno da dođemo do c. Ovakvo kretanje matematički se opisuje kao sabiranje.

$a+b=c$

Od c je potrebno b koraka ulijevo da se vratimo do a. Ovakvo kretanje matematički se opisuje kao oduzimanje.

$c-a=b$

Zamislimo dužinu označenu sa brojevima 1,2 i 3. Od položaja 3, nisu potrebni koraci ulijevo da se ostane na 3, dakle :$3-0=3$

Potrebna su dva koraka ulijevo da se dođe do položaja 1, dakle :$3-2=1$. Slika je neodgovarajuća da se prikaže što bi se dogodilo nakon 3 koraka ulijevo. Da bi se to prikazalo potrebno je produžiti duž.

Za oduzimanje prirodnih brojeva potrebno je početi sa polupravom koja sadrži sve prirodne brojeve:$(0,1,2,3,4,5,\mathrm{...})$

Od 3, potrebno je napraviti 3 koraka ulijevo da se dođe na 0, dakle

$3-0=3$.

$3-4$ nije moguće prikazati jer prelazi početak poluprave.

Rješenje je prava sa cijelim brojevima:$(\mathrm{...},-3,-2,-1,0,1,2,3,\mathrm{...})$. Od 3, potrebno je 4 koraka ulijevo da se dođe do -1

$3-4=-1$

Oduzimanje kao sabiranje

Postoje slučajevi gdje oduzimanje kao posebna računska operacija postaje problematična. Primjer

$5-(-3)$ oduzimanje -3 od 5) nije odmah očito na brojnoj pravoj jer nam nije odmah jasno šta znači pomaknuti se $-2$-koraka ulijevo. Jedno rješenje je prikazati oduzimanje kao sabiranje. Dodatni znak minusa označava inverziju sabiranja.

Tada imamo

$5-(-3)=5+3=8$

Komutativnost i asocijativnost

Ne važi komutativnost

$a-b=a+(-b)=(-b)+a=-(b-a)$

Ne važi asocijativnost

$(a-b)-c\ne a-(b-c)$

Načini oduzimanja sa potpisivanjem

Austrijska metoda

• 
  $1+\mathrm{...}=3$
• 
  $3-1=2$
• 
  $9+\mathrm{...}=5$
• 

• 
  $9+\mathrm{...}=15$
• 
  $(4+1)+\mathrm{...}=7$
• 
• 

Oduzimanje s lijeva na desno

• 
  $7-4=3$
• 
• 
  $15-9=6$
• 
• 
  $(3-1=2$

Američka metoda

• 
  $3-1=\mathrm{...}$
• 
• 
  $5-9=\mathrm{...}$
• 
• 
  $15-9=\mathrm{...}$

• 
  $6-4$
• 
• 

Još jedan način ovog oduzimanja

• 
  $1-3$
• 
  $4-9$
• 
  $11-3=8$
• 
  $14-9=5$
• 
  $6-7=2$

Djelimična razlika

• 
  $700-400=300$
• 
  $90-50=40$
• 
  $3-1=2$
• 
  $300-40+2$

Oduzimanje bez potpisivanja

Brojanje do

$1234-567=$

$567+3=570$

$570+30=600$

$600+400=1000$

$1000+234=1234$

$3+30+400+234=667$

Razbijanjem umanjioca

$1234-500=734$

$734-60=674$

$674-7=667$

Jednaka promjena

Dodavanjem ili oduzimanjem istog broja umanjeniku i umanjiocu rezultat se ne mijenje.

$1234-567=1237-570=1267-600=667$

Izvori

• Browell, W. A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.
• Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1 (original publication) and Vol. 10, No. 1 (reprint.) https://web.archive.org/web/20170811133911/http://math.coe.uga.edu/tme/issues/v10n2/5ross.pdf