Gama funkcija

Za članak o gama funkciji ordinala, pogledajte Veblenova funkcija.

Gama funkcija duž dijela realne ose

U matematici, gama funkcija (označena velikim grčkim slovom Γ) je proširenje faktorijelske funkcije u realne i kompleksne brojeve. Za kompleksan broj z sa pozitivnim realnim dijelom, gama funkcija je definisana sa

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt.$

Ova definicija može se proširiti na ostatak kompleksne ravni, osim u negativne cijele brojeve.

Ako je n pozitivni cijeli broj, tada je

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

što pokazuje vezu sa faktorijelskom funkcijom. Gama funkcija uopćuje faktorijelsku funkciju za ne-cijele i kompleksne vrijednosti od n.

Gama funkcija je komponeneta u raznim funkcijama raspodjele vjerovatnoća, i tako takva je primjeljiva u oblastima vjerovatnoće i statistike, kao i kombinatorike.

Definicija

Glavna definicija

Proširena verzija gama funkcije u kompleksnoj ravni

Oznaku Γ(z) uveo je Adrien-Marie Legendre. Ako je realni dio kompleksnog broja z pozitivan (Re[z] > 0), tada cijeli broj

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

konvergira apsolutno. Koristeći integraciju po članovima, može se pokazati da je

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z).(1)$

Ova funkcionalna jednačina uopćuje relaciju n! = n×(n-1)! faktorijelske funkcije. Γ(1) izračunavamo analitički:

$\mathrm{\Gamma }(1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}dt=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }-e^{-t}{|}_0^k=-0-(-1)=1.$

Kombinujući ove dvije relacije pokazuje nam kako je faktorijelska funkcija spacijalni slučaj gama funkcije:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=\cdots =n!\mathrm{\Gamma }(1)=n!$

za sve prirodne brojeve n.

Partikularne vrijednosti

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Gamma }(-3/2)& =\frac{4\sqrt{\pi }}{3}& \approx 2.363\\ \mathrm{\Gamma }(-1/2)& =-2\sqrt{\pi }& \approx -3.545\\ \mathrm{\Gamma }(1/2)& =\sqrt{\pi }& \approx 1.772\\ \mathrm{\Gamma }(1)& =0!& =1\\ \mathrm{\Gamma }(3/2)& =\frac{\sqrt{\pi }}{2}& \approx 0.886\\ \mathrm{\Gamma }(2)& =1!& =1\\ \mathrm{\Gamma }(5/2)& =\frac{3\sqrt{\pi }}{4}& \approx 1.329\\ \mathrm{\Gamma }(3)& =2!& =2\\ \mathrm{\Gamma }(7/2)& =\frac{15\sqrt{\pi }}{8}& \approx 3.323\\ \mathrm{\Gamma }(4)& =3!& =6\end{array}$

Također pogledajte

• Beta funkcija
• Bohr-Mollerupov teorem
• Digama funkcija
• Eliptična gama funkcija
• Faktorijel
• Gama distribucija
• Gaussova konstanta
• Gaussova suma
• Nepotpuna gama funkcija
• Lanczosova aproksimacija
• Multivarijantna gama funkcija
• Pochhammerov k-simbol
• Poligama funkcija
• Recipročna gama funkcija
• Stirlingova aproksimacija
• Trigama funkcija

Reference

• Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
• Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997
• Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", Šablon:ISBN (c) 2003
• Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).

Vanjski linkovi

Internet stranice

• Cephes - C and C++ language special functions math library
• Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
• Gamma function calculator
• Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
• Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
• Computing the Gamma function - various algorithms
• Online tool to graph functions which contain the Gamma function

Dalje čitanje

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
• G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
• Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.)
• W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)