Gaussova konstanta

U matematici, Gaussova konstanta, oznake G, se definiše kao recipročna vrijednost aritmetičko-geometrijske sredine od 1 i kvadratnog korijena od 2:

$G=\frac{1}{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(1,\sqrt{2})}=0.8346268\dots$

Konstanta je dobila naziv po Carlu Friedrichu Gaussu, koji je dana 30. maja 1799. godine otkrio da je

$G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$

tako da je

$G=\frac{1}{2\pi }\beta (\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array},\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array})$

gdje β označava beta funkciju.

Veze sa drugim konstantama

Gaussova konstanta može se koristiti kao izraz zatvorenog oblika za gama funkciju za argument 1/4:

$\mathrm{\Gamma }(\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array})=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}}$

a pošto su π i Γ(1/4) algebarski nezavisne, Gaussova konstanta je transcendentalna.

Druge formule

Formula za G preko Jacobijevih teta funkcija data je sa

$G={\vartheta }_{01}^2(e^{-\pi })$

kao i red koji brzo konvergira

$G=\sqrt[4]{32}{e}^{-\frac{\pi }{3}}{(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{-2n\pi (3n+1)})}^2.$

Kontanta se može dati i preko beskonačnog proizvoda

$G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\tanh }^2\left(\frac{\pi m}{2}\right).$

Gaussova konstanta ima neprekidni razlomak [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

Lemniskata Bernulija

U matematici, konstanta lemniskate Šablon:MvarŠablon:Sfn je transcendentalna matematička konstanta koja je omjer perimetra Bernoullijeve lemniskate i njenog prečnika, analogno definiciji [[Pi|Šablon:Pi]] za kružnicu. Ekvivalentno, perimetar lemniskate $(x^2+y^2{)}^2=x^2-y^2$ je Šablon:Math. Lemniskatna konstanta je blisko povezana sa lemniskatnim eliptičkim funkcijama i približno je jednaka 2,62205755.<ref>{{Cite web|url=http://

Vanjski linkovi

• Šablon:MathWorld
• http://oeis.org/A014549
• http://oeis.org/A062539