Elementarna algebra

Elementarna algebra je osnovna algebra koju izučavaju učenici sa malo ili nimalo formalnog znanja iz oblasti matematike, osim aritmetike. Dok se u aritmetici javljaju samo brojevi i njihove aritmetičke operacije (poput +, −, ×, ÷), u algebri se također koriste simboli (poput x i y, ili a i b) za označavanje brojeva. Ovi simboli se nazivaju promjenljive. One su korisne jer:

• omogućavaju da se generalizacije aritmetičkih jednačina (i nejednačina) izraze u obliku zakona (kao što je $a+b=b+a$ za svako a i b), a ovo je prvi korak u sistematskom izučavanju osobina realnih brojeva.
• omogućavaju pozivanje na brojeve koji nisu poznati. U kontekstu problema, promjenljiva može da predstavlja neku vrijednost koja nije poznata, ali može biti riješena kroz formulaciju i manipulaciju jednačinama.
• omogućavaju proučavanje matematičkih odnosa izmeću veličina (poput ako prodaš x karata, onda će tvoj profit iznositi $3x-10$ maraka).

U elementarnoj algebri, izraz može da sadrži brojeve, promjenljive i aritmetičke operacije. Slijedi nekoliko primjera:

$x+3$

$y^2+2x-3$

$z^7+a(b+x^3)+42/y-\pi .$

U malo naprednijoj algebri, izraz može da sadrži i elementarne funkcije.

Jednačina predstavlja tvrdnju da su dva izraza jednaka. Neke jednačine su tačne za sve vrijednosti promjenljivih koje se u njima pojavljuju (naprimjer $a+b=b+a$); takve izraze nazivamo identitetima. Uslovne jednačine su tačne samo za neke vrijednosti svojih promjenljivih: $x^2-1=4.$ Vrijednosti promjenljivih koje čine da jednačina bude tačna se nazivaju rješenjima jednačine.

Zakoni elementarne algebre

• Sabiranje je komutativna operacija (zbir dva broja je isti nezavisno od redoslijeda u kojem ih zapisujemo).
  • Oduzimanje je operacija suprotna sabiranju.
  • Oduzimanje je isto što i sabiranje negativnim brojem:

$a-b=a+(-b).$

Primjer: ako je $5+x=3$, onda je $x=-2.$

• Množenje je komutativna operacija.
  • Dijeljenje je operacija suprotna množenju.
  • Podeliti jedan broj drugim je isto što i pomnožiti ga recipročnom vrednoštu drugog broja:

$\frac{a}{b}=a\left(\frac{1}{b}\right).$

• Stepenovanje nije komutativna operacija.
  • Stoga stepenovanje ima dve suprotne operacije: logaritmovanje i stepenovanje recipročnim eksponentom (naprimjer kvadratni korijen).
    • Primjeri: ako $3^x=10$ onda $x={\log }_{3}10.$ Ako $x^2=10$ onda $x=10^{1/2}.$
  • Kvadratni korijen negativnih brojeva ne postoji u sistemu realnih brojeva (Pogledajte: Kompleksni brojni sistem)
• Asocijativno osobina sabiranja: $(a+b)+c=a+(b+c).$
• Asocijativno svojstvo množenja: $(ab)c=a(bc).$
• Distributivno osobina množenja u odnosu na sabiranje: $c(a+b)=ca+cb.$
• Distributivna osobina stepena u odnosu na množenje: $(ab{)}^c=a^c{b}^c.$
• Kombinovanje eksponenata: $a^b{a}^c=a^{b+c}.$
• Stepen stepena: $(a^b{)}^c=a^{bc}.$

Zakoni jednakosti

• Ako $a=b$ i $b=c$, onda $a=c$ (tranzitivnost jednakosti).
• $a=a$ (refleksivnost jednakosti).
• Ako $a=b$ onda $b=a$ (simetrija jednakosti).

Drugi zakoni

• Ako $a=b$ i $c=d$ onda $a+c=b+d.$
  • Ako $a=b$ onda $a+c=b+c$ za svako c (adiciono svojstvo jednakosti).
• Ako $a=b$ i $c=d$ onda $ac$ = $bd.$
  • Ako $a=b$ onda $ac=bc$ za svako c (multiplikativna osobina jednakosti).
• Ako su dva simbola jednaka, onda se jedan može zamijeniti drugim po želji (princip smjene).
• Ako $a>b$ i $b>c$ onda $a>c$ (tranzitivnost nejednakosti).
• Ako $a>b$ onda $a+c>b+c$ za svako c.
• Ako $a>b$ i $c>0$ onda $ac>bc.$
• Ako $a>b$ i $c<0$ onda $ac<bc.$

Primjeri

Linearne jednačine jedne promjenljive

Najjednostavnije jednačine su linearne jednačine koje imaju samo jednu promjenljivu. One sadrže samo konstantne brojeve i jednu promjenljivu bez eksponenta. Naprimjer:

$2x+4=12.$

Ključna tehnika je sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje obe strane jednačine istim brojem kako bi se izolovala promjenljiva sa jedne strane jednačine. Kada se promjenljiva izoluje, sa druge strane jednačine ostaje vrijednost promjenljive. Naprimjer, oduzimanjem 4 sa obe strane gornje jednačine se dobija:

$2x+4-4=12-4$

što se pojednostavljuje na:

$2x=8.$

Dijeljenjem obe strane brojem 2:

$\frac{2x}{2}=\frac{8}{2}$

se dobija rješenje:

$x=4.$

Opći slučaj,

$ax+b=c$

ima isti format rješenja:

$x=\frac{c-b}{a}$

Kvadratne jednačine

Kvadratne jednačine mogu da se izraze u obliku ax² + bx + c = 0, gde je a različito od nule (jer kad bi bilo jednako nuli, jednačina ne bi bila kvadratna već linearna). Zbog ovoga, kvadratna jednačina mora da sadrži član ax². Stoga je a ≠ 0, pa možemo da podijelimo jednačinu sa a i da preuradimo jednačinu da ima standardni oblik

$x^2+px=q$

gde je p = b/a, a q = −c/a. Rješavanje ovoga, procesom dopune do kvadrata, vodi do kvadratne formule.

Sistem linearnih jednačina

U slučaju kada imamo sistem linearnih jednačina, poput naprimjer, dvije jednačine sa dvije nepoznate, često je moguće naći rješenja za obe promjenljive koje zadovoljavaju obe jednačine.

Prvi metod rješavanja sistema

Primjer sistema linearnih jednačina bi mogao da bude slijedeće:

$\{\begin{array}{c}4x+2y=14\\ 2x-y=1.\end{array}$

Množenjem izraza u drugoj jednačini sa 2:

$4x+2y=14$

$4x-2y=2.$

Sabiranjem jednačina, dobije se:

$8x=16$

što se može pojednostaviti

$x=2.$

Kako nam je sada poznato da je x = 2, moguće je izračunati da je y = 3 iz bilo koje od dve početne jednačine (umetanjem 2 umjesto x). Kompletno rješenje ovog sistema je

$\{\begin{array}{c}x=2\\ y=3.\end{array}$

Ovo nije jedini način da se reši ovaj sistem; mogli smo da nađemo y prije nego što smo našli x.

Drugi metod rješavanja sistema

Drugi način za rešavanje istog sistema linearnih jednačina je korištenje smene.

$\{\begin{array}{c}4x+2y=14\\ 2x-y=1.\end{array}$

Ekvivalent y se može naći korištenjem jedne od ovih jednačina. Naprimjer, korištenjem druge:

$2x-y=1$

Oduzimanjem 2x sa obe strane jednačine:

$2x-2x-y=1-2x$

$-y=1-2x$

i množenjem sa -1:

$y=2x-1.$

Korištenjem ove vrijednosti y u prvoj jednačini početnog sistema:

$4x+2(2x-1)=14$

$4x+4x-2=14$

$8x-2=14$

Dodavanjem 2 sa obe strane jednačine:

$8x-2+2=14+2$

$8x=16$

što se može pojednostaviti

$x=2$

Korištenjem ove vrijednosti u obe jednačine dobija se isto rješenje kao i kod prethodnog metoda.

$\{\begin{array}{c}x=2\\ y=3.\end{array}$

Također, ni ovo nije jedini način da se riješi ovaj sistem; i ovde smo mogli prvo da izračunamo y pa onda x.

Drugi tipovi sistema linearnih jednačina

Nerješivi sistemi

U gornjem primjeru, moguće je naći rješenje sistema. Međutim, postoje i sistemi linearnih jednačina koje nemaju rješenje. Očigledan primjer je:

$\{\begin{array}{c}x+y=1\\ 0x+0y=2\end{array}$

Druga jednačina u sistemu nema rješenje. Stoga, sistem ne može biti riješen. Međutim, nije sve nezadovoljive sisteme moguće isprva prepoznati. Uzmimo naprimjer sistem:

$\{\begin{array}{c}4x+2y=12\\ -2x-y=-4\end{array}$

Ako pokušamo da rešimo ovaj sistem (naprimjer korištenjem metoda smene koji je gore objašnjen), druga jednačina nakon dodavanja − 2x na obe strane i množenjem sa −1, daje:

$y=-2x+4$

A kada se ovo iskoristi kao vrijednost y u prvoj jednačini:

$4x+2(-2x+4)=12$

$4x-4x+8=12$

$8=12$

Nema preostalih promjenljivih, a jednakost nije tačna. Ovo znači da prva jednačina ne može da da rješenje za vrijednost y dobijenu iz druge jednačine.

Neodređeni sistemi

Postoje i sistemi sa višestrukim rješenjima ili beskonačnim brojem rješenja, za razliku od sistema sa jedinstvenim rješenjem (gde naprimjer postoje jedinstvene vrijednosti za x i y) Naprimjer:

$\{\begin{array}{c}4x+2y=12\\ -2x-y=-6\end{array}$

Ako izolujemo y u drugoj jednačini:

$y=-2x+6$

I iskoristimo ovu vrijednost u prvoj jednačini sistema:

$4x+2(-2x+6)=12$

$4x-4x+12=12$

$12=12$

Ova jednakost je tačna, ali nam ne daje vrijednost za x. Zaista, lahko se može proveriti (upisivanjem nekih vrijednosti za x) da za svako x postoji rješenje, sve dok je y = −2x + 6. Postoji beskonačan broj rješenja ovog sistema.

Također pogledajte

• Binarna operacija
• Gaussova eliminacija
• Matematičko obrazovanje
• Brojna linija
• Polinom
• Trinom
• Racionalizacija (matematika)

Literatura

• Leonhard [Euler], Elements of Algebra, Tarquin Press, 2007
• Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.