Vièteova formula

Šablon:Hatnote Šablon:Nedostaju izvori U matematici, Vièteova formula, koja nosi svoje ime po francuskom matematičaru François Vièteu (1540-1603), je reprezentacija matematičke konstante π u obliku beskonačnog proizvoda:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$

Izraz sa desne strane jednakosti treba tumačiti kao graničnu vrijednost

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{i=1}^n\frac{a_i}{2}=\frac{2}{\pi }$

gdje je $a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}$ sa početnim uslovom $a_1=\sqrt{2}$.

Poslije sređivanja moguće je dobiti formulu za π u obliku

$\underset{𝐧\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^{𝐧+1}\sqrt{2-\underset{𝐧}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}}}=\pi$.

Dokaz

Korištenjem formule za sinus dvostrukog ugla

$\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$

najprije treba dokazati jednakost

$\frac{\sin (2^{n}x)}{2^n\sin x}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos (2^{i}x)$

koja važi za sve pozitivne cijele brojeve n. Ako se uzme da je x=y/2ⁿ i ako se obe strane jednakosti podijele sa cos(y/2), biće

$\frac{\sin y}{\cos (\frac{y}{2})}\cdot \frac{1}{2^n\sin (\frac{y}{2^n})}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left(\frac{y}{2^{i+1}}\right).$

Ponovnom upotrebom formule za sinus dvostrukog ugla sin y=2sin(y/2)cos(y/2) dobija se

$\frac{2\sin (\frac{y}{2})}{2^n\sin (\frac{y}{2^n})}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left(\frac{y}{2^{i+1}}\right).$

Ako zamijenimo y sa π, dobijamo jednakost

$\frac{2}{2^n\sin (\frac{\pi }{2^n})}=\prod _{i=2}^n\cos \left(\frac{\pi }{2^i}\right).$

Ostaje da se faktori sa desne strane ove jednakosti povežu sa odgovarajućim a_n. Ako se sada upotrijebi formula za kosinus polovine ugla,

$2\cos (x/2)=\sqrt{2+2\cos x},$

dobija se da $b_i=2\cos \left(\frac{\pi }{2^{i+1}}\right)$ zadovoljava rekurzivnu vezu $b_{i+1}=\sqrt{2+b_i}$ sa početnim uslovom $b_1=2\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}=a_1$. Zato je a_n=b_n za sve pozitivne cijele brojeve n.

Vièteova formula se zatim dobija kad se uzme da $n\to \mathrm{\infty }$. Ovde treba primijetiti da je

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{2^n\sin (\frac{\pi }{2^n})}=\frac{2}{\pi }$

kao posljedica činjenice da je $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$ (ovo slijedi prema l'Hôpitalovom pravilu).

Vanjski linkovi

• Formule za broj pi (engl.)