Sinus

Šablon:Nedostaju izvori Sinus ugla je trigonometrijska funkcija oblika

grafik sinusoide

$y=a\sin (\omega x+\varphi ).$.

Grafik ove funkcije zove se sinusoida. Periodična je sa periodom $P=\frac{2\pi }{\omega };$, a njen presjek sa х оsom je u tačkama $x=\frac{k\pi -\varphi }{\omega };$ Ekstremne tačke $(\frac{(k+\frac{1}{2})\pi -\varphi }{\omega },(-1{)}^{k}a).$

'Vrijednosti sinusa za neke uglove'

$\varphi$	0°	30°	45°	60°	90°
$\sin \varphi$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1

Osnovne osobine

sinus u pravouglom trouglu

Sinus je neparna funkcija

$\sin (-\alpha )=-sin\alpha$

Sinus je periodična funkcija

$\sin (2k\pi \pm \alpha )=sin\alpha$

Nula funkcije

$sin\alpha =0=>\alpha =k\pi$

Maksimum funkcije

$sin\alpha =1=>\alpha =2k\pi +\frac{\pi }{2}$

Minimum funkcije

$sin\alpha =-1=>\alpha =2k\pi -\frac{\pi }{2}$

Neki identiteti

$sin(\alpha +\frac{\pi }{2})=\cos \alpha$

$sin(\alpha +\pi )=-\sin \alpha$

$:sin(\alpha +2\pi )=\sin \alpha$

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$sin2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$

$sin3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$

$sin\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \left(\frac{\alpha \pm \beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha \mp \beta }{2}\right)$

$\text{Ako su }w+x+y+z=\pi =\text{polukrug,}$

$\begin{array}{cc}\text{tada vrijedi }& \sin (w+x)\sin (x+y)\\ & =\sin (x+y)\sin (y+z)\\ & =\sin (y+z)\sin (z+w)\\ & =\sin (z+w)\sin (w+x)=\sin (w)\sin (y)+\sin (x)\sin (z).\end{array}$

$\sin (x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ ( $i^2=-1$)

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})$

$|\sin x|=\frac{1}{2}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sqrt[2^{n+1}]{|\tan \left(2^{n}x\right)|}$

Zlatni rez

$\sin \left(\frac{\pi }{10}\right)=\sin 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{\phi -1}{2}=\frac{1}{2\phi }$

Derivacija

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$

Izvod

$(sinx{)}^{\prime }=\cos x$

Integral

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}={\sin }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

Inverzna funkcija

arkussinus

Inverzna funkcija funkcije $\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$ je

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }=(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )-(\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta )=2\mathrm{i}\cdot \sin \theta \Rightarrow \sin \theta =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{2\mathrm{i}}$

$\arcsin x=-i\ln (ix+\sqrt{1-x^2})$

$\arcsin \alpha$ (Arkus sinus) je funkcija inverzna funkciji $\sin \alpha$ na njenom intervalu $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

Koristi se za određivanje veličine ugla , kada je poznata vrijednost njegovog sinusa.

Formule

$\arcsin -x=\frac{\pi }{2}-\arccos x$ (pravilo komplementarnih uglova)

$\arcsin -x=-\arcsin x$ (neparnost funkcije)

$\arcsin \frac{1}{x}=arccosecx$

$\arcsin x=2arctg\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$

$(arcsin{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}};|x|<1$

$\arcsin x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz,|x|\le 1$

$\begin{array}{cc}\arcsin z& =z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)};|z|\le 1\end{array}$

Također pogledajte

• Sinusoida
• Kosinus
• Tangens
• Kotangens

Vanjski linkovi

1. Sinus, mathworld.wolfram.com
2. Trigonometrijske funkcije realnog broja Šablon:Webarchive