Taylorov red

Kako stepen Taylorovog polinoma raste, približava se tačnoj funkciji. Ova slika prikazuje Šablon:Color i Taylorovu aproksimaciju, polinome stepena Šablon:Color, Šablon:Color, Šablon:Color, Šablon:Color, Šablon:Color, Šablon:Color i Šablon:Color.

Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih n+1 članova njenog Taylorovog reda u 0 (crveno).

U matematici, Taylorov red predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako se za dobijanje reda koristi izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu.

Definicija

Taylorov red za neku neprekidnu funkciju $f(x)$ sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku $a$ jeste definiran ovako:

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Kada funkcija ima više argumenata, primjenjuje se:

$T(x_1,\cdots ,x_d)=\sum _{n_1=0}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{n_d=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\partial }^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}}\cdots \frac{{\partial }^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}}\frac{f(a_1,\cdots ,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}(x_1-a_1{)}^{n_1}\cdots (x_d-a_d{)}^{n_d}$

U slučaju da se dobije višedimenzionalna funkcija, koristi se sljedeća metoda:

$T(𝐱)=f(𝐚)+\mathrm{\nabla }f(𝐚{)}^T(𝐱-𝐚)+\frac{1}{2}(𝐱-𝐚{)}^T{\mathrm{\nabla }}^{2}f(𝐚)(𝐱-𝐚)+\cdots$

gdje je $\mathrm{\nabla }f(𝐚)$ gradijent, a ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(𝐚)$ Hesseova matrica.

Primjeri

Maclaurinov red za bilo koji polinom je ponovo polinom.

Maclaurinov red za (1 − x)⁻¹ je geometrijski red

$1+x+x^2+x^3+\cdots$

tako da Taylorov red za x⁻¹ u a = 1

$1-(x-1)+(x-1{)}^2-(x-1{)}^3+\cdots .$

Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazi se Maclaurinov red za −log(1  − x), gdje log označava prirodni logaritam:

$x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\cdots$

a odgovarajući Taylorov red za log(x) u a = 1 je

$(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}-\frac{(x-1{)}^4}{4}+\cdots .$

Taylorov red za eksponencijalnu funkciju $e^x$ u $a=0$ je

$1+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots .$

Gornji izraz važi zato što je derivacija od e^x također e^x, a e⁰ jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)ⁿ u brojniku, a n! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.

Konvergentnost

Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve $x$. U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak, $R_n(x)=f(x)-T_n(x)$, konvergira prema 0.

Kada je $f(x)$ sama potencijalni red oko tačke $a$, onda je Taylorov red identičan sa njim.

Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcija

Također pogledajte: Spisak matematičkih redova

Kosinusna funkcija u kompleksnoj ravni.

Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u kompleksnoj ravni.

Dvije gornje krive postavljene zajedno.

Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente $x$.

Eksponencijalna funkcija:

${\mathrm{e}}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \text{ za sve }x$

Prirodni logaritam:

$\log (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}\text{ za }|x|\le 1,x=1$

$\log (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}\text{ za }|x|\le 1,x=-1$

Konačan geometrijski red:

$\frac{1-x^{m+1}}{1-x}=\sum _{n=0}^m{x}^n\text{ za }x=1\text{ i }m\in {\mathbb{N}}_0$

Beskonačan geometrijski red:

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\text{ za }|x|<1$

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

$\frac{x^m}{1-x}=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\text{ za }|x|<1\text{ i }m\in {\mathbb{N}}_0$

$\frac{x}{(1-x{)}^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^n\text{ za }|x|<1$

Kvadratni korijen:

$\sqrt{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)n{!}^2{4}^n}{x}^n\text{ za }|x|<1$

Binomni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n\text{ za sve }|x|<1\text{ i sve kompleksne }\alpha$

sa općenitim binomnim koeficijentima

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}.$

Trigonometrijske funkcije:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \text{ za sve }x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \text{ za sve }x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots \text{ za }|x|<\frac{\pi }{2}$

gdje je B Bernoullijev broj.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}\text{ za }|x|<\frac{\pi }{2}$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ za }|x|<1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}\text{ za }|x|\le 1$

Hiperbolička funkcija:

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \text{ za sve }x$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots \text{ za sve }x$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x-\frac{z^3}{3}+\frac{2}{15}{z}^5-\frac{17}{315}{z}^7+\cdots \text{ za }|x|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ za }|x|<1$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\text{ za }|x|<1$

Lambertova W funkcija:

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n\text{ za }|x|<\frac{1}{\mathrm{e}}$

Brojevi B_k, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernoullijev broj. E_k u razvijanju sec(x) je Eulerov broj.

Također pogledajte

• Taylorov teorem
• Laurentov red
• Dokaz da su holomorfske funkcije analitičke
• Newtonov polinom
• Diferencijalna mašina
• Teorem srednje vrijednosti

Vanjski linkovi

• Šablon:Commonscat-inline