Potencijalni red

Šablon:Nedostaju izvori U matematici, potencijalni red (ili stepeni red) (jedne promjenljive) je red oblika

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - c)}^{n} = a_{0} + a_{1} (x - c) + a_{2} (x - c)^{2} + a_{3} (x - c)^{3} + \dots

gdje a_n predstavlja koeficijent n-tog sabirka, C je konstanta, a x je a blizu c. Ovi redovi se često javljaju u vidu Taylorovih redova neke date funkcije; u članku o Taylorovim redovima se mogu naći primjeri.

Eksponencijalna funkcija (plavo) i suma prvih n+1 članova njenog Maclaurinovog potencijalnog reda (crveno).

Jako često se uzima da je c jednako nuli, naprimjer, kada se razmatraju Maclaurinovi redovi. U ovim slučajevima, potencijalni red ima jednostavniji oblik

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots .

Ovakvi potencijalni redovi se javljaju uglavnom u analizi, ali također i u kombinatorici (kao generatorne funkcije) i u obradi signala.

Primjeri

Svaki polinom se lahko može izraziti kao potencijalni red kod tačke c, mada mu je većina koeficijenata jednaka nuli. Na primjer, polinom $f (x) = x^{2} + 2 x + 3$ se može zapisati kao potencijalni red oko $c = 0$ oblika

f (x) = 3 + 2 x + 1 x^{2} + 0 x^{3} + 0 x^{4} + \dots

ili oko centra $c = 1$ kao

f (x) = 6 + 4 (x - 1) + 1 (x - 1)^{2} + 0 (x - 1)^{3} + 0 (x - 1)^{4} + \dots

ili oko bilo kog drugog centra c. Stepeni redovi se mogu posmatrati kao polinomi beskonačnog reda, mada oni nisu polinomi.

Formula geometrijskog reda

\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots,

koja važi za $| x | < 1$ , je jedna od najvažnijih primjera potencijalnog reda, kao i formula eksponencijalne funkcije

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots,

i sinusna formula

\sin (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots,

koja važi za svako realno x. Ovi potencijalni redovi su također i primjeri Taylorovih redova. Međutim, postoje potencijalni redovi koji nisu Taylorovi redovi ni jedne funkcije, naprimjer

\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n} = 1 + x + 2! x^{2} + 3! x^{3} + \dots .

Negativni potencijalni nisu dozvoljeni u potencijalnim redovima, naprimjer $1 + x^{- 1} + x^{- 2} + \dots$ se ne smatra potencijalnim redom (mada jeste Laurentov red). Slično, razlomljeni potencijalnovi, kao što je $x^{1 / 2}$ nisu dozvoljeni (vidi Piseov red). Koeficijenti $a_{n}$ ne smiju da zavise od $x$ , stoga naprimjer:

\sin (x) x + \sin (2 x) x^{2} + \sin (3 x) x^{3} + \dots

nije potencijalni red.

Radijus konvergencije

Stepeni red sigurno konvergira za neke vrijednosti promjenljive x (barem za x = c) a za ostale može da divergira. Uvek postoji broj r, 0 ≤ r ≤ ∞ takav da red konvergira kad god je |x − c| < r i divergira kad god |x − c| > r. Broj r se naziva radijus konvergencije (ili stpen konvergencije) potencijalnog reda; u općem slučaju, radijus konvergencije je određen izrazom

r = \underset{n \to \infty}{lim inf} {| a_{n} |}^{- \frac{1}{n}}

ili, ekvivalentno,

$r^{- 1} = \underset{n \to \infty}{lim sup} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

(pogledajte limes superior i limes inferior). Brz način da se izračuna je

r^{- 1} = \lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |

ako ovaj limes postoji.

Red konvergira apsolutno za |x - c| < r i uniformno na svakom neprekidnom podskupu {x : |x − c| < r}.

Za |x - c| = r, se ne može u općem slučaju reći da li red konvergira ili divergira. Međutim, Abelov teorem kaže da je suma reda neprekidna na x ako red konvergira na x.

Operacije sa potencijalnim redovima

Sabiranje i oduzimanje

Kada se dvije funkcije, f i g dekomponuju u potencijalni red oko istog centra c, potencijalni red zbira ili razlike funkcija se može naći sabiranjem ili oduzimanjem član po član. To jest, ako:

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}

g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x - c)^{n}

onda

f (x) \pm g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) (x - c)^{n}

Množenje i dijeljenje

Uz iste definicije kao i gore, potencijalni red proizvoda ili količnika funkcija se može dobiti na slijedeći način:

f (x) g (x) = (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x - c)^{n})

= \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} a_{i} b_{j} (x - c)^{i + j}

= \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{i = 0}^{n} a_{i} b_{n - i}) (x - c)^{n} .

Niz $m_{n} : = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} b_{n - i}$ je poznat kao konvolucija nizova $a_{n}$ i $b_{n}$ .

Primijetimo, za dijeljenje:

\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}}{\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x - c)^{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} (x - c)^{n}

f (x) = (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x - c)^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} (x - c)^{n})

a zatim se koriste gornji izrazi, upoređujući koeficijente.

Diferenciranje i integracija

Ako je funkcija data kao stepeeni red, ona je neprekidna gdje god konvergira, i diferencijabilna je na unutrašnjosti ovog skupa. Može se diferencirati ili integraliti vrlo jednostavno, član po član:

f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} n {(x - c)}^{n - 1}

\int f (x) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n} {(x - c)}^{n + 1}}{n + 1} + C

Oba ova reda imaju isti radijus konvergencije kao i početni.

Analitičke funkcije

Funkcija f definisana na nekom otvorenom podskupu U od R ili C se naziva analitičkom ako je lokalno zadata potencijalnim redom. Ovo znači da svako a ∈ U ima otvorenu okolinu V ⊆ U, takvu da postoji potencijalni red sa centrom a koji konvergira funkciji f(x) za svako x ∈ V.

Svaki potencijalni red sa pozitivnim radijusom konvergencije je analitički na unutrašnjosti svoje oblasti konvergencije. Sve holomorfne funkcije su kompleksno-analitičke. Sume i proizvodi analitičkih funkcija su analitičke, kao i količnici, sve dok nazivnik nije nula.

Formalni potencijalni redovi

U apstraktnoj algebri, pokušava se da se izvuče suština potencijalnih redova, bez ograničavanja na polja realnih i kompleksnih brojeva i bez potrebe da se govori o konvergenciji. Ovo dovodi do koncepta formalnog potencijalnog reda. Ovaj koncept je od velikog značaja u kombinatorici.