Tangensna teorema

Slika 1 - trougao.

Šablon:Trigonometrija U trigonometriji, tangensni teorem je iskaz o odnosu dužina tri strane trougla i tangenti uglova.

Na Slici 1, a, b i c su dužine tri strane trougla, a α, β i γ, respektivno, su uglovi nasuprot tih stranica. Tangensni teorem kaže da je

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Tangensni teorem, iako nije poznat kao sinusni ili kosinusni teorem, jednako je koristan, a može se koristiti u bilo kojem slučaju kada su poznate dvije stranice i jedan ugao, kao i dva ugla i jedna stranica.

Dokaz

Kako bi dokazali tangensni teorem, počinjemo sa sinusnim teoremom:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }.$

Neka je

$d=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta },$

tako da je

$a=d\sin \alpha \text{ i }b=d\sin \beta .$

Slijedi da je

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }.$

Koristeći trigonometrijske identitete

$\sin (\alpha )\pm \sin (\beta )=2\sin \left(\frac{\alpha \pm \beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha \mp \beta }{2}\right),$

dobijamo

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}{2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Kao alternativa korištenju identiteta sume ili razlike dva sinusa, može se koristiti trigonometrijski identitet

$\tan \left(\frac{\alpha \pm \beta }{2}\right)=\frac{\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }$

(pogledajte članak formula tangensa polovine ugla).

Također pogledajte

• Sinusni teorem
• Kosinusni teorem