Konvergentan red

Za članak o istoimenoj zbirci kratkih priča, pogledajte članak Konvergentan red (zbirka kratkih priča).

U matematici, red je suma članova niza brojeva.

Za dati niz $\{a_1,a_2,a_3,\dots \}$, n-ta parcijalna suma $S_n$ je suma prvih n članova niza, to jest,

$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k.$

Red je konvergentan ako je niz njegovih parcijalnih suma $\{S_1,S_2,S_3,\dots \}$ konvergentan. U formalnijem jeziku, red konvergira ako postoji granična vrijednost $\ell$ takva da za svaki proizvoljan pozitivan broj $\epsilon >0$, postoji veliki cijeli broj $N$, takav da za sve $n\ge N$ vrijedi

$|S_n-\ell |\le \epsilon .$

Za niz, koji nije konvergentan, kaže se da je divergentan.

Primjeri konvergentnih i divergentnih redova

• Recipročni brojevi stepena broja 2 ($2^n$) tvore konvergentan red (takav da je skup stepeni broja 2 "mali"):
• :$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots =2.$
• Recipročni brojvi pozitivnih cijelih brojeva tvore divergentan red:
• :$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots .$
• Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih brojeva pozitivnih cijelih brojeva tvore konvergentan red:
• :$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots =\ln 2.$
• Recipročni prosti brojevi tvore divergentan red (takav da je skup prostih brojeva "veliki"):
• :$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\cdots .$
• Recipročni kvadratni brojevi tvore konvergentan broj (Baselov problem):
• :$\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}.$
• Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih neparnih brojeva tvori konvergentan red:
• :$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots =\frac{\pi }{4}.$

Testovi konvergencije

Postoji nekoliko metoda, pomoću kojih možemo odrediti da li je red konvergentan ili divergentan.

Test poređenja. Članovi niza $\left\{a_n\right\}$ se upoređuju sa onim od drugog niza $\left\{b_n\right\}$. Ako je,

za sve n, $0\le a_n\le b_n$, i ako red $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ konvergira, tada konvergira i red $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$.

Međutim, ako,

za sve n, $0\le b_n\le a_n$, i ako red $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ divergira, tada divergira i red $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$.

D'Alambertov test. Pretpostavimo da je za sve n, $a_n>0$. Pretpostavimo da postoji $r$ takav da vrijedi

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$.

Ako je r < 1, tada red konvergira. Ako je r > 1, tada red divergira. Ako je r = 1, D'Alambertov test je neodlučan, te red i konvergirati divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

Cauchyjev korjeni test ili Test n-tog korjena. Pretpostavimo da su članovi niza nenegativni, te da postoji r takav da vrijedi

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=r$

Ako je r < 1, tada red konvergira. Ako je r > 1, tada red divergira. Ako je r = 1, Cauchyjev korjeni test test je neodlučan, te red može i konvergirati i divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

Integralni test. Red se može uporediti sa integrallom kako bi odredili konvergenciju ili divergenciju. Neka $f(n)=a_n$ bude pozitivna i monotono opadajuća funkcija. Ako vrijedi

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty },$

tada dati red konvergira. Ali, ako integral divergira, tada i dati red divergira.

Test upoređivanje limesa. Ako je $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}>0$, a granična vrijednost $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ postoji i nije nula, tada $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergira ako i samo ako $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ konvergira.

Leibnizov test. Za alternativni red oblika $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(-1{)}^n$, ako je $\left\{a_n\right\}$ monotono opadajuća funkcija, čija je granična vrijednost 0, tada red konvergira.

Cauchyjev test konvergencije. Ako je $\left\{a_n\right\}$ monotono opadajući niz, tada $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergira ako i samo ako $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{a}_{2^k}$ konvergira.

Dirichletov test

Abelov test

Raabeov test

Uslovna i apsolutna konvergencija

Za svaki niz $\{a_1,a_2,a_3,\dots \}$, $a_n\le \left|a_n\right|$ za sve n. Odatle je

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|.$

Ovo znači da ako $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ konvergira, tada $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$, također, konvergira (međutim, obrnuto ne vrijedi!).

Ako red $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ konvergira, tada je red $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ apsolutno konvergentan. Apsolutno konvergentan niz je onaj kod kojeg dužina linije, koja je nastala spajanjem svih prirasta na parcijalnu sumu, je konačno duga. Potencijlani red eksponencijalne funkcije je svuda apsolutno konvergentan.

Ako red $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergira, ali red $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ divergira, tada je red $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ uslovno konvergentan. Potencijalni red logaritma je uslovno konvergentan.

Riemannov teorem o redu kaže da ako je red uslovno konvergentan, moguće je njegove članove ispremiještati, tako da on bude konvergentan za svaku vrijednost, čak i da bude divergentan.

Uniformna konvergencija

Neka $\{f_1,f_2,f_3,\dots \}$ bude niz funkcija. Za red $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ se kaže da konvergira uniformno u f ako je niz $\{s_n\}$ parcijalnih suma definisan sa

$s_n(x)=\sum _{k=1}^n{f}_k(x)$

konvergira uniformno u f.

Postoji analog testu poređenja za beskonačne redove funkcija koji se zove Weierstrassov M-test.

Cauchyjev test konvergencije

Cauchyjev kriterij konvergencije kaže da red

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

konvergira ako i samo ako je niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. To znači da za svako $\epsilon >0,$ postoji pozitivan cijeli broj $N$ takav da za svako $n\ge m\ge N$ imamo

$\left|\sum _{k=m}^n{a}_k\right|<\epsilon ,$

što je ekvivalentno

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{n\to \mathrm{\infty }}{m\to \mathrm{\infty }}}{\lim }\sum _{k=n}^{n+m}{a}_k=0.$

Reference

• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill.
• Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. Šablon:ISBN.

Vanjski linkovi

• Interactive graphical simulation of series convergence
• Chase, Robert (2007). More plots on convergence
• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Retrieved May 16, 2005.