Weierstrassov M-test

Šablon:Nedostaju izvori U matematici, Weierstrassov M-test je analogija testu poređenja za beskonačne redove, a primjenjuje se kod redova čiji su članovi funkcije sa realnim ili kompleksnim vrijednostima.

Pretpostavimo da je $\{f_n\}$ niz realnih ili kompleksnih vrijednosti funkcije definisan u skupu $A$, te da postoje pozitivne konstante $M_n$ takve da vrijedi

$|f_n(x)|\le M_n$

za sve $n$≥$1$ i sve $x$ u $A$. Pretpostavimo, nadalje, da red

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$

konvergira. Tada, red

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$

konvergira uniformno na $A$.

Općenitija verzija Weierstrassovog M-testa stoji ako je kodomen funkcija $\{f_n\}$ bilo koji Banachov prostor, u čijem slučaju se može iskaz

$|f_n|\le M_n$

zamijeniti sa

$||f_n||\le M_n$,

gdje je $||\cdot ||$ oznaka Banachovog prostora. Za primjer upotrebe ovog testa na Banachovom prostoru, pogledajte članak Fréchetova derijacija.

Dokaz

$S_n(x)=\sum _{k=1}^n{f}_k(x)$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ konvergira i Šablon:Math za svako n, onda na osnovu Cauchyjevog testa konvergencije

$\mathrm{\forall }\epsilon >0:\mathrm{\exists }N:\mathrm{\forall }n>m>N:\sum _{k=m+1}^n{M}_k<\epsilon .$

za izabrano N,

$\mathrm{\forall }x\in A:\mathrm{\forall }n>m>N$

$|S_n(x)-S_m(x)|=|\sum _{k=m+1}^n{f}_k(x)|\stackrel{(1)}{\le }\sum _{k=m+1}^n|f_k(x)|\le \sum _{k=m+1}^n{M}_k<\epsilon .$

Ovaj parcijalni zbir reda ravnomjerno konvergira . Po definiciji, reda $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x)$ konvergira uniformno.

Reference

• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.