Leibnizov test za alternativne redove

Šablon:Nedostaju izvori Šablon:Infinitezimalni račun Leibnizov test za alternativne redove je metoda koja se koristi za dokazivanje beskonačni redovi konvergiraju. Otkrio je Gottfried Leibniz.

Red oblika

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(-1{)}^n$

gdje su svi a_n pozitivni ili 0, naziva se alternativni red. Ako niz a_n konvergira u 0, te ako je svaki a_n manji od a_n-1 (npr. red a_n je monotono opadajući), tada red konvergira. Ako je L suma reda,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(-1{)}^n=L$

tada parcijalna suma

$S_k=\sum _{n=1}^k{a}_n(-1{)}^n$

približna sumi L sa greškom od

$|S_k-L|\le |S_k-S_{k-1}|=a_k$

Jasno je da je moguće za red da njegove parcijalne sume S_k ispunjavaju ovaj posljednji uslov bez da red bude alternativni. Na primjer, imamo red:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{1}{2}$

Također pogledajte

• Dirichletov test

Reference

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.4) Šablon:ISBN
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.3) Šablon:ISBN
• Last, Philip, "Sequences and Series", New Science, Dublin, 1979. (§ 3.4) Šablon:ISBN