Racionalni broj

Racionalni brojevi su svi mogući brojevi koje možemo napisati u obliku razlomaka, tj. a/b, gdje je a cijeli broj, koji zovemo brojnikom, a b je prirodan broj, koji nazivamo nazivnikom.

Skup racionalnih brojeva $\mathbb{Q}$ uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek bila moguća na skupu cijelih brojeva $\mathbb{Z}$. Ako su a,b,c$\in \mathbb{Z}$ kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji
cijeli broj c takav da je a=b×c

Definicija skupa racionalnih brojeva: Skup racionalnih brojeva$\mathbb{Q}$ je skup svih klasa ekvivalencije
na skupu $\mathbb{Z}$ x $\mathbb{N}$, odnosno $\mathbb{Q}$={m/n: m$\in \mathbb{Z}$, n$\in \mathbb{N}$} Dok su skupovi $\mathbb{N}$ i $\mathbb{Z}$ diskretni, skup $\mathbb{Q}$ je gust (između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Za brojanje raznih predmeta i životinja dovoljni su cijeli brojevi, djeca broje jabuke i kruške, također, cijelim brojevima, ali ako jednu jabuku treba da podijeli dvoje djece onda je svako od njih dobio pola jabuke . To pišemo sa 1/2.

Da je trebalo jabuku dijeliti na tri dijela, pisali bi da je svatko dobio 1/3 jabuke.
Dakle, skup racionalnih brojeva $\mathbb{Q}$ uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva $\mathbb{Z}$.

Ako su a,b,c$\in \mathbb{Z}$ kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji
cijeli broj c takav da je a=b×c

Definicija skupa racionalnih brojeva:

Skup racionalnih brojeva$\mathbb{Q}$ je skup svih klasa ekvivalencije
na skupu $\mathbb{Z}$ x $\mathbb{N}$, odnosno $\mathbb{Q}$={m/n: m$\in \mathbb{Z}$, n$\in \mathbb{N}$} Dok su skupovi $\mathbb{N}$ i $\mathbb{Z}$ diskretni, skup $\mathbb{Q}$ je gust ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Definicija

Skup racionalnih brojeva $\mathbb{Q}$ je skup svih klasa ekvivalencije na skupu $\mathbb{Z}x\mathbb{N},$ odnosno

$\mathbb{Q}=$ {$\frac{m}{n}$ $m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}$}

Dok su skupovi $\mathbb{N}$ i $\mathbb{Z}$ diskretni, skup $\mathbb{Q}$ je gust ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Sabiranje

U skupu $\mathbb{Q}$ definisano je sabiranje

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ za $b\ne 0$ $d\ne 0$

Osobine sabiranja

Radi lakšeg pisanja uvedimo oznaku

$\frac{a}{b}=r$

$r_1+r_2=r_2+r_1$ komutativnost

$(r_1+r_2)+r_3=r_1+(r_2+r_3)$ asocijativost

$r+(-r)=0$ inverzan broj

Brojevi $\frac{a}{b}$ i $-\frac{a}{b}$ su suprotni

$r+0=r$ neutralan elemenat

Oduzimanje

Kao i u skupu cijelih brojeva $\mathbb{Z}$ oduzimanje se svodi na sabiranje

$r_1-r_2=r_1+(-r_2)$

Množenje

U skupu $\mathbb{Q}$ definisano je množenje

$\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ za $b\ne 0$ $d\ne 0$

Osobine množenja

$r_1*r_2=r_2*r_1$ komutativnost

$(r_1*r_2)*r_3=r_1*(r_2*r_3)$ asocijativnost

$r*\frac{1}{r}=1$ inverzan broj

$r*1=r$ neutralan elemenat

$r*(-1)=-r$

$r*0=0$

$\frac{0}{a}=0$

$r_1(r_2+r_3)=r_1*r_2+r_1*r_3$ distribucija množenja u odnosu na dijeljenje

Dijeljenje

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}*\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

Upoređivanje

$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}=>ad<bc$

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>ad=bc$

$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}=>ad>bc$

Dvojni razlomak

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}$

Proširivanje i skraćivanje razlomaka

$\frac{a}{b}=\frac{am}{bm}$ proširivanje razlomaka

$\frac{an}{bn}=\frac{a}{b}$ skraćivanje razlomaka