Imaginarni broj

$\dots$ (ponavlja uzor iz plavog dijela)

i –3 = i

i –2 = –1

i –1 = –i

i 0 = 1

i 1 = i

i 2 = –1

i 3 = –i

i 4 = 1

i 5 = i

i 6 = –1

i n = i n mod 4 (pogledaj modulus)

U matematici, imaginarni broj je kompleksni broj čiji je kvadratni korijen negativan realan broj. Imaginarni brojevi imaju oblik bi, gdje je b realan broj od nule i i imaginarna jedinica za koju važi:

$i^2=-1$.

Imaginarni broj bi može biti dodat uz realan broj, formirajući kompleksni broj oblika a + bi, kod kojeg je a "realan dio" a b "imaginarni dio". Imaginarni brojevi se dakle mogu smatranti kao kompleksni brojevi kod kojih je "realan dio" nula i obrnuto.

Historija

Iako je grčki matematičar i inžinjer Heron iz Aleksandrije naveden kao prvi koji je primijetio imaginarne brojeve, bio je Rafael Bombelli prije njega u 1572-oj koji je definisao skup ovih brojeva. U to vrijeme, imaginarne brojeve su pojedinci smatrali kao fiktivne i bezpotrebne, isto kao što su nekada bili nula i negativni brojevi. Mnogi drugi matematičari su bili spori u tome da prihvate upotrebu imaginarnih brojeva, kao što je bio René Descartes koji je pogrdno pisao o njima u svom radu La Géométrie. Descartes je bio prvi koji je upotrebio pojam "imaginaran broj" u 1637-oj. Međutim, čistu ideju o imaginarnim brojevima je mnogo prije izmislio Gerolazmo Cardano u 16. vijeku. Ova ideja nije bila široko prihvaćena sve do rada Leonharda Eulera (1707-1783) i Carla Friedrich Gaussa (1777-1855). Geometrijsku značajnost kompleksnih brojeva je prvi pronašao Caspar Wessel (1745-1818).

U 1843-oj, matematički fizičar William Rowan Hamilton, je proširio ideju o osi imaginarnih brojeva u trodimenzionalnom prostoru imaginarnih kvaterniona. Sa razvojem kvocijenata polinomijalnih prstenova koncept imaginarnog broja je postao značajniji, dok su se našli i drugi imaginarni brojevi kao j od tesarina čiji je kvadrat +1. Ova ideja je se prvi puta pojavila u člancima James Cockle-a 1848-e.

Geometrična reprezentacija

Datoteka:Rotacija od 90 stepeni na kompleksnoj ravni.jpg

Rotacije od 90 stepeni na kompleksnoj ravni.

Geometrično gledano, imaginarni brojevi se nalaze na vertikalnoj osi na kompleksnoj ravni, što dozvoljava da budu prezentirani ortogonalno na realnu osu. Jedan način na koji se mogu shvatiti imaginarni brojevi je da se uzme u obzir standardna brojna linija, povećavajući se pozitivno prema desnoj strani, i smanjivajući negativno prema lijevoj. Kod broja 0 na $x$-osi, može se nacrtati $y$-osa sa pozitivnim pravcom na gore. Pozitivni imaginarni brojevi se povecavaju prema gore, dok se negativni smanjuju prema dole. Ova vertikalna osa se često naziva imaginarna osa i označava se kao "$iℝ$", "$𝕀$" ili jednostavno kao "$Im$".

U ovoj reprezentaciji množenje sa -1 je jednako rotaciji od 180 stepeni u odnosu na koordinatni početak. Množenje sa $i$ je jednako rotaciji od 90 stepeni u pozitivnom pravcu (u pravac kazaljke na satu|suprotnom pravcu kazaljke na satu). Jednačina $i^2=-1$ se intrepretira kao dvije rotacije od 90 stepeni u odnosu na koordinatni početak, što je isti rezultat kao jedna rotacija od 180 stepeni. Treba zapaziti da rotacija od 90 stepeni u negativnom pravcu (pravcem kazaklje na satu) isto zadovoljava ovu interpretaciju. Ovo potvrdjuje činjenicu da $-i$ isto rješava jednačinu $x^2=-1$ (pogledajte također imaginarnu jedinicu).

Stepenovanje imaginarnog broja $i$

Stepenovanje imaginarnog broja $i$ se kružno ponavlja. Ovo se može uvidjeti u siljedećem primjeru gdje $n$ predstavlja bilo koji broj:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i.$

Ovo dovodi do zaključka da je $i^n=i^{nmod4}$.

Također pogledajte

• Imaginarna jedinica