Eksponencijalna funkcija

Šablon:Nedostaju izvori Eksponencijalna funkcija je funkcija u matematici. Primjena ove funkcije na vrijednost x se zapisuje kao e^x, gdje je e matematička konstanta, baza prirodnog logaritma, koja približno iznosi 2,718281828,te je poznata pod nazivom Eulerov broj. Često, ovo se može napisati u obliku exp(x).

The exponential function is nearly flat (climbing slowly) for negative values of x, climbs quickly for positive values of x, and equals 1 when x is equal to 0. Its y value always equals the slope at that point.

Ako funkcija od realne varijable x, grafik od y = e^x je uvijek pozitivan (iznad x ose) i rastući (gledato s lijeva na desno). Funkcija nikada ne dodiruje x osu, iako se proizvoljno blizu približi istoj (tako da je x osa horizontalna asimptota grafika). Njena inverzna funkcija, prirodni logaritam, ln(x), je definisan za sve pozitivne x. Za eksponencijalnu funkciju se nekad kaže da je antilogaritam. Međutim, ova terminologija se, u zadnje vrijeme, manje koristi.

Ponekad, posebno u naukama, termin eksponencijalna funkcija se općenito koristi za funkcije oblika cb^x, gdje je b, predstavljajući bazu, bilo koji pozitivan realan broj, a ne mora nužno biti e. Pogledajte članak eksponencijalni rast za više informacija o ovoj upotrebi.

Općenito, varijabla x može biti bilo koji realan ili kompleksan broj, ili čak potpuno druga vrsta matematičkog objekta; pogledajte formalnu definiciju ispod.

Formalna definicija

Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvihh n+1 članova potencijalnog reda lijevo (crveno).

Eksponencijalna funkcija e^x može se definisati, na razne ekvivalnetne načine, kao beskonačan red. Tačnije, može se definisati pomoću potencijalnog reda:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$.

Uočite da ova definicija ima oblik Taylorovog reda. Koristeći druge definicije za eksponencijalnu funkciju trebale bi dovesti do istog rezultata kada se proširi u Taylorov red.

Rjeđe, e^x je definisano kao rješenje y jednačine

$x=\underset{1}{\overset{y}{\int }}\frac{dt}{t}.$

Također, to je slijedeća granična vrijednost:

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$

Neprekidni razlomci za e^x

Preko Eulerovog identiteta:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots =1+\frac{x}{1-\frac{x}{x+2-\frac{2x}{x+3-\frac{3x}{x+4-\frac{4x}{x+5-\frac{5x}{\ddots }}}}}}$

Naprednije tehnike su neophodne da se napiše sljedeće:

$e^{2m/n}=1+\frac{2m}{(n-m)+\frac{m^2}{3n+\frac{m^2}{5n+\frac{m^2}{7n+\frac{m^2}{9n+\frac{m^2}{\ddots }}}}}}$

Ako stavimo da je m = x i n = 2, dobijamo

$e^x=1+\frac{2x}{(2-x)+\frac{x^2}{6+\frac{x^2}{10+\frac{x^2}{14+\frac{x^2}{18+\frac{x^2}{\ddots }}}}}}$

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravni

Eksponencijalna funkcija može se definisati i u kompleksnoj ravni na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku potencijalnog reda, gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

$e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

$\frac{d}{dz}{e}^z=e^z$

vrijedi i u kompleksnoj ravni.

Razmatrana kao funkcija definisana u kompleksnoj ravni, eksponencijalna funkcija zadržava svoje osnovne osobine:

$e^{z+w}=e^z{e}^w$

$e^0=1$

$e^z\ne 0$

$\frac{d}{dz}{e}^z=e^z$

za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda $2\pi i$, jer vrijedi

$e^{a+bi}=e^a(\cos b+i\sin b)$

i

$e^z=e^x{e}^{yi}=e^x(\cos y+i\sin y)=e^x\cos y+i{e}^x\sin y.$

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štaviše, može se definisati i funkcija oblika a^b, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definisati općenitije da je

$z^w=e^{w\ln z}$

za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

$(e^z{)}^w\ne e^{\left(zw\right)}$

Izračunavanje e^z za kompleksan z

Ovo slijedi direktno iz formule

$e^{x+yi}=e^x{e}^{yi}=e^x(\cos (y)+i\sin (y))=e^x\cos (y)+i{e}^x\sin (y).$

Uočite da je argument y kod trigonometrijskih funkcija realan.

Također pogledajte

• e (broj)
• Karakterizacije eksponencijalne funkcije
• Tetracija
• Eksponencijalni rast
• Eksponencijacija
• Spisak integrala eksponencijalnih funkcija
• Spisak tema o eksponencijalima

Vanjski linkovi

• Šablon:MathWorld
• Complex Exponential Function Module by John H. Mathews
• Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda.com
• Complex exponential interactive graphic