Pitagorina teorema

Pitagorina teorema: Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbiru površina kvadrata nad katetama.

U matematici, Pitagorina teorema je odnos u euklidskoj geometriji između triju stranica pravouglog trougla.

Pitagorina teorema glasi:

Ako je trougao pravougli, onda je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu nad hipotenuzom.

Pravougli trougao je trougao s jednim pravim uglom (od 90 stepeni). Katete su dvije strane koje čine prav ugao, a hipotenuza je treća strana suprotna desnom uglu. Na slici ispod, a i b su katete pravouglog trougla, a c je hipotenuza:

Koristeći se algebrom, ova teorema može se preformulisati u moderni izraz s opaskom da je površina kvadrata kvadrat dužine njegove stranice:

Uzimajući da je trougao s katetama dužina a i b i hipotenuze dužine c, onda vrijedi:

a² + b² = c².

Historija

Teorema je nazvana po Pitagori, starogrčkom filozofu i matematičaru iz 6. vijeka p. n. e, iako je bila poznata indijskim, grčkim, kineskim i babilonskim matematičarima puno prije nego što je on živio. Prvi poznati dokaz Pitagorine teoreme može se naći u Euklidovim Elementima.

Ako se, na primjer, prilikom gradnje hramova ili piramida trebao konstruisati pravi ugao, onda je to učinjeno pomoću "egipatskog trougla" - trougla čije su stranice dužine 3, 4 i 5. Također, stari narodi su znali konstruisati pravougli trougao sa stranicama dužina 6, 8 i 10;  9, 12 i 15; 12, 16 i 20, odnosno 15, 36 i 39. Na ovaj način je uvedena veza između figure i broja, tj. između geometrije i algebre.

Dokazi

Ovo je teorema koja može imati više poznatih dokaza nego bilo koja druga (pravilo kvadratne recipročnosti također je poznato po mnogim dokazima); knjiga Pythagorean Proposition, koju je napisala Elisha Scott Loomis, sadrži 367 dokaza.

Neki argumenti zasnovani na trigonometrijskim identitetima (kao što je Taylorov red za sinus i kosinus) predloženi su kao dokaz za teoremu. Međutim, pošto su svi temeljni trigonometrijski identiteti dokazani preko Pitagorine teoreme, u obzir se ne mogu uzimati trigonometrijski dokazi.

Dokaz uz korištenje sličnih trouglova

Dokaz uz korištenje sličnih trouglova

Kao i većina dokaza Pitagorine teoreme, ovaj je zasnovan na proporcionalnosti stranica dvaju sličnih trouglova.

Neka je ABC pravougli trougao, s pravim uglom u tački C, kao što je prikazano na slici. Visinu povlačimo iz tačke C, a tačku H nazivamo presjekom te visine sa stranicom AB. Novi trougao ACH sličan je našem početnom trouglu ABC jer oba imaju pravi ugao (po definiciji visine), te dijele ugao u tački A, što znači da će i treći ugao biti isti. Sličnim rezonovanjem, trougao CBH je, također, sličan s trouglom ABC. Sličnosti vode do dviju relacija: Kako je

$BC=a,AC=b,\text{ i }AB=c,$

tako je

$\frac{a}{c}=\frac{HB}{a}\text{ i }\frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.$

Ovo se može pisati kao

$a^2=c\times HB\text{ i }{b}^2=c\times AH.$

Sumiranjem ovih dviju jednakosti dobijamo

$a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times (HB+AH)=c^2.$

Drugim riječima, Pitagorina teorema:

$a^2+b^2=c^2.$

Primjena teoreme na kvadrat

Znamo da je kvadrat četverougao sa svim jednakim stranicama, uglovima i dijagonalama.

$d^2=2a^2$

$d=a\sqrt{2}$

Primjena teoreme na pravougaonik

Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama i pravim unutrašnjim uglovima. Kada se povuče jedna dijagonala, dobiju se dva pravougla trougla. Pitagorina teorema za trougao ABC:

$d^2=a^2+b^2$

$d=\sqrt{a^2+b^2}$

Primjena teoreme na jednakostranični trougao

Jednakostranični trougao je trougao sa jednakim stranicama i uglovima. Iz Pitagorine teoreme za trougao dobija se visina trougla

$a^2=(\frac{a}{2}{)}^2+h^2$

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=$

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{h^2\sqrt{3}}{3}$

Primjena teoreme na jednakokraki trougao

Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuče visina iz tjemena C, dobiju se dva pravougla trougla.

$h_a=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$

Primjena teoreme na romb

Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Dijagonale se sijeku pod uglom od :$90^o$ i međusobno se polove.

$h_a^2=(\frac{d_1}{2}{)}^2+(\frac{d_2}{2}{)}^2$

Također pogledajte

• Pitagora
• Kvadratni korijen iz 2

Vanjski linkovi

• Nekoliko dokaza Pitagorine teoreme
• Dijkstra's generalization
• Babilonska ploča kao dokaz poznavanja teoreme