Vektorska analiza

Šablon:Nedostaju izvori Šablon:Kalkulus Vektorska analiza je grana matematike koja se bavi diferencijacijom i integracijom vektorskih polja. Termin "vektorski kalkulus" se ponekad koristi kao sinonim za širu oblast kalkususa više promjenljivih, koji uključuje cektorski kalkulus, kao i parcijalnu diferencijaciju i višestruku integraciju. Vektorski kalkulus igra značajnu ulogu u diferencijalnoj geometriji i proučavanju parcijalnih diferencijalnih jednačina. Jako mnogo se koristi u fizici i inženjerstvu, posebno u opisivanju elektromagnetnih polja, gravitacionih polja i strujanja fluida.

Vektorski kalkulus razvio se iz kvaternionske analize Josiaha Willard Gibbsa i Olivera Heavisidea krajem 19. vojeka, dok su većinu oznaka i terminologije uveli Gibbs i Wilson u njihovoj knjizi iz 1901. godine pod nazivom Vector Analysis.

Vektorske operacije

Vektorska analiza proučava razne diferencijalne operatore definisane u skalarnim i vektorskim poljima, koji su obično predstavljeni pomoću nabla znaka ($\mathrm{\nabla }$). Četiri najvažnije operacije u vektorskoj analizi su:

Operacija	Oznaka	Opis	Domena
Gradijent	$\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }f$	Mjeri veličinu i pravac promjene skalarnog polja.	Preslikava skalarna u vektorska polja.
Rotor	$\mathrm{rot}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\times 𝐅$	Mjeri tendenciju rotacije oko jedne tačke u vektorskom polje.	Preslikava vektorska u vektorska polja.
Divergencija	$\mathrm{div}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$	Mjeri intenzitet izvora ili ponora u datoj tački vektorskog polja.	Preslikava vektorska u skalarna polja.
Laplasijan	$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$	Kompozicija operacija divergencije i gradijenta.	Preslikava skalarna u skalarna polja.

Rotor i divergencija se razlikuju, gdje prvi upotrebljava vektorski proizvod, a drugi skalarni proizvod, te gdje je f skalarno polje, a F vektorsko polje. Veličina, nazvana Jakobijan je korisna za proučavanje funkcija kada su i domen i radijus funkcije viševarijabilni, kao što je korisna promjena varijabli tokom integracije.

Teoremi

Također, postoji nekoliko važnih teorema vezanih za ove operacije, koje uopćuju fundamentalni teorem kalkulusa u više dimenzije:

Teorem	Iskaz	Opis
Teorem gradijenta	$\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right)=\underset{L}{\int }\mathrm{\nabla }\phi \cdot d𝐫.$	Linijski integral kroz gradijent (vektorskog) polja jednak je razlici u njegovom skalarnom polju u krajnjim tačkama krive.
Greenov teorem	$\underset{C}{\int }(Ldx+Mdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dA$	Integral skalarnog rotora vektorskog polja, preko neke oblasti u ravni, jednake je linijskom integralu vektorskog polja preko krive koja ogranilava tu oblast.
Stokesov teorem	$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot d\mathrm{\Sigma }={\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}𝐅\cdot d𝐫,$	Integral rotora vektorskog polja, preko površi, jednak je linijskom integralu vektorskog polja preko krive koja ograničava tu površ.
Teorem divergencije	$\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV=\underset{\partial V}{\iint }𝐅\cdot d𝐒,$	Integral divergencije vektorskoh polja, preko nekog čvrstog tijela, jednak je integralu fluksa kroz površinu koja ograničava to čvrsto tijelo.

Također pogledajte

• Identiteti vektorskog kalkulusa
• Nevrtložno vektorsko polje
• Solenoidalno vektorsko polje
• Laplasijansko vektorsko polje

Reference

• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book

• Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

Vanjski linkovi

• Expanding vector analysis to a non-orthogonal space
• Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis