Tangentni četverougao

tangentni četvorougao sa svojim upisanim krugom

Tangentni četverougao je svaki četverougao za koji postoji kružnica koja dodiruje sve njegove strane. Naziv tangenta dolazi od svojstva da je svaka strana četverougla tangenta na kružnicu.

Osobine:
Četvorokut je tangentan ako i samo ako se simetrale njegovih unutrašnjih uglova sijeku u jednoj tački.

Četvorougao ABCD je tangentan ako je $|\overline{AB}|+|\overline{CD}|=|\overline{AD}|+|\overline{BC}|$.
Vrijedi i obrnuto - ako je četverougao tangentan, onda je zbir suprotnih strana jednak jedna drugoj.
Posljedica

Ako su stranice označene sa a, b, c, d onda jeste

$a+c=b+d=\frac{a+b+c+d}{2}=o$

gdje je o polovina obima.

Ako su stranice tangentnog četverokuta a, b, c, d, a r poluprečnik upisane kružnice, tada je njegova površina data formulom

$P=\frac{a+b+c+d}{2}\cdot r$

Četvorouglovi u koje se može istovremeno upisati i opisati kružnica nazivaju se bicentrični četvorouglovi ili četvorouglovi-tangenti tetive.

Neka svojstva tangentnog četvorougla

Neka je tangentni četverougao $ABCD$ trapez ($\overline{AB}||\overline{CD}$), čije se dijagonale sijeku u tački $O$

Ako su $r_1$, $r_2$, $r_3$ i $r_4$ polumjeri upisanih kružnica u trokutima $\mathrm{\Delta }ABO$, $\mathrm{\Delta }BCO$, $\mathrm{\Delta }CDO$ i $\mathrm{\Delta }DAO$, onda jeste

$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}$

I također ako su $s_1$,$s_2$,$s_3$ i $s_4$ poluokruzi trokuta $\mathrm{\Delta }ABO$, $\mathrm{\Delta }BCO$, $\mathrm{\Delta }CDO$ i $\mathrm{\Delta }DAO$ , onda jeste

$s_1+s_3=s_2+s_4$

Formule ugla

Ako su e, f, g i h tangentne dužine od vrhova A, B, C i D do tačaka u kojima je upisana kružnica tangenta na stranice tangencijalnog četvorougla ABCD, tada se uglovi četvorougla mogu izračunati iz

$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}},$

$\sin \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}},$

$\sin \frac{C}{2}=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}},$

$\sin \frac{D}{2}=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}.$

$\sin \phi =\sqrt{\frac{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}.$