Srebrni rez

Spisak brojeva - Iracionalni brojevi ζ(3) - √2 - φ - √3 - √5 - $δ_{S}$ - α - e - π - δ
Binarni	10.0110101000001001111...
Decimalni	2,4142135623730950488...
Heksadecimalni	2.6A09E667F3BCC908B2F...
Neprekidni razlomak	$2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{⋱}}}}$

Srebreni rez je matematička konstanta. Njegov naziv je aluzija zlatnom rezu; analogno, kako je zlatni rez granični omjer susjednih Fibonaccijevih brojeva, srebreni rez je granični omjer susjednih Pellovih brojeva. Naziv srebreni broj se, također, ponekad koristi kada se misli na plastični broj, granični omjer susjednih Perrinovih brojeva, te od Padovanovog niza.

Definicija

Srebreni rez ( $δ_{S}$ ) je definisan kao iracionalan broj koji nastaje sumom broja 1 i kvadratnog korijena od 2.To jest:

δ_{S} = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414 213 562 373 095 048 801 688 724 210

Iz ove definicije slijedi da je

(δ_{S} - 1)^{2} = 2 .

Niži stepeni srebrenog reza su:

δ_{S}^{0} = 1

δ_{S}^{1} = δ_{S} + 0

δ_{S}^{2} = 2 δ_{S} + 1

δ_{S}^{3} = 5 δ_{S} + 2

δ_{S}^{4} = 12 δ_{S} + 5

Stepeni se nastavljaju dalje po obrascu:

δ_{S}^{n} = K_{n} δ_{S} + K_{(n - 1)}

gdje je

K_{n} = 2 K_{(n - 1)} + K_{(n - 2)}

Na primjer, koristeći ovu osobinu:

δ_{S}^{5} = 29 δ_{S} + 12

Koristeći $K_{0} = 1$ i $K_{1} = 2$ kao početne uslove, dobijamo formulu sličnu Binetovoj, koja slijedi iz ponavljajuće relacije

K_{n} = 2 K_{(n - 1)} + K_{(n - 2)}

koja postaje

K_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (δ_{S}^{n + 1} - {(2 - δ_{S})}^{n + 1})

Srebreni rez je direktno povezan sa nekoliko trigonometrijskih omjera:

\sin \frac{π}{8} = \sin 22 . 5^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}

\cos \frac{π}{8} = \cos 22 . 5^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}

\tan \frac{π}{8} = \tan 22 . 5^{\circ} = \sqrt{2} - 1

\cot \frac{π}{8} = \cot 22 . 5^{\circ} = \sqrt{2} + 1

Dalje, jedna od formula za površinu pravilnog oktagona sa stranicom dužine a je data sa

A = 2 a^{2} \cot \frac{π}{8} = 2 (1 + \sqrt{2}) a^{2} ≃ 4.828427 a^{2} .

Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).Šablon:Refspisak