Spiskovi integrala

Šablon:Kalkulus Pogledajte sljedeće stranice za spisak integrala:

• Spisak integrala racionalnih funkcija
• Spisak integrala iracionalnih funkcija
• Spisak integrala trigonometrijskih funkcija
• Spisak integrala inverznih trigonometrijskih funkcija
• Spisak integrala hiperboličkih funkcija
• Spisak integrala arkusnih hiperboličkih funkcija
• Spisak integrala eksponencijalnih funkcija
• Spisak integrala logaritamskih funkcija
• Spisak integrala arkusnih funkcija

Osnovna pravila integriranja

$\int af(x)dx=a\int f(x)dx\text{(}a\text{ constant)}$

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int [f^{\prime }(x)(\int g(x)dx)]dx$

$\int [f(x){]}^n{f}^{\prime }(x)dx=\frac{[f(x){]}^{n+1}}{n+1}+C\text{(for }n\ne -1\text{)}$

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$

$\int f^{\prime }(x)f(x)dx=\frac{1}{2}[f(x){]}^2+C$

Integrali prostih funkcija

Racionalne funkcije

Više na: Spisak integrala racionalnih funkcija

$\int \mathrm{d}x=x+C$

$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\text{ if }n\ne -1$

$\int \frac{dx}{x}=\ln \left|x\right|+C$

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

Iracionalne funkcije

Više na: Spisak integrala iracionalnih funkcija

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\sin }^{-1}\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{-dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\cos }^{-1}\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}{\sec }^{-1}\frac{|x|}{a}+C$

Logaritmi

Više na: Spisak integrala logaritamskih funkcija

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int {\log }_{b}xdx=x{\log }_{b}x-x{\log }_{b}e+C$

Eksponencijalne funkcije

Više na: Spisak integrala eksponencijalnih funkcija

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Trigonometrijske funkcije

Više na: Spisak integrala trigonometrijskih funkcija i Spisak integrala arkusnih funkcija

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$

$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx$

$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{{\cos }^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx$

$\int {\tan }^{-1}xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C$

Hiperboličke funkcije

Više na: Spisak integrala hiperboličkih funkcija

$\int \sinh xdx=\cosh x+C$

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$

$\int \tanh xdx=\ln |\cosh x|+C$

$\int \text{csch}xdx=\ln |\tanh \frac{x}{2}|+C$

$\int \text{sech}xdx=\arctan (\sinh x)+C$

$\int \coth xdx=\ln |\sinh x|+C$

Inverzne hiperboličke funkcije

$\int {\sinh }^{-1}xdx=x{\sinh }^{-1}x-\sqrt{x^2+1}+C$

$\int {\cosh }^{-1}xdx=x{\cosh }^{-1}x+\sqrt{x^2-1}+C$

$\int {\tanh }^{-1}xdx=x{\tanh }^{-1}x+\frac{1}{2}\log (1-x^2)+C$

$\int {\text{csch}}^{-1}xdx=x{\text{csch}}^{-1}x+\log \left[x(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1)\right]+C$

$\int {\text{sech}}^{-1}xdx=x{\text{sech}}^{-1}x-{\tan }^{-1}\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)+C$

$\int {\coth }^{-1}xdx=x{\coth }^{-1}x+\frac{1}{2}\log (x^2-1)+C$

Određeni nepravi integrali

Postoje funkcije čiji se integrali ne mogu predstaviti u zatvorenom intervalu (integral [a,b]).

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{x}{e}^{-x}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$ (također pogledajte Gama funkcija)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$ (Gausov integral)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$ (također pogledajte Bernulijev broj)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi }{2}$ (if n is an even integer and $n\ge 2$)

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx=\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}$ (if $n$ is an odd integer and $n\ge 3$)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx=\mathrm{\Gamma }(z)$ (gdje je $\mathrm{\Gamma }(z)$ gama funkcija)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(a{x}^2+bx+c)}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}\exp \left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]$ (gdje je $\exp [u]$ eksponencijalna funkcija $e^u$.)

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_0(x)$ (gdje je $I_0(x)$ modificirana Beselova funkcija prve vrste)

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_0\sqrt{x^2+y^2}$

"Sofomorov san"

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx(=1.291285997\dots )$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}-(-1{)}^n{n}^{-n}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx(=0.783430510712\dots )$

(Pogledajte Johann Bernoulli i sofomorov san).

Također pogledajte

• Spisak graničnih vrijednosti
• Spisak matematičkih redova

Vanjski linkovi

Integrali na zahtjev

• The Integrator (Wolfram Research)
• TILU Pogledajte tabelu integrala (održava Richard Fateman)

Tabele integrala

• S.O.S. Matematika: Tabele i formule
• Neodređeni i određeni integrali (na EqWorld)