Spisak formula koje sadrže π

Ovaj članak je spisak značajnih formula koje sadrže matematičku konstantu π.

Klasična geometrija

$O=2\pi r=\pi d,$

gdje je O obim kruga, r je radijus, a d je dijametar.

$P=\pi r^2,$

gdje je P površina kruga, a r je radijus.

$V=\frac{4}{3}\pi r^3,$

gdje je V zapremina sfere, a r je radijus.

$P=4\pi r^2$

gdje je P površina sfere, a r je radijus.

S=2rπ*h

gdje je S površina kalote(isječka), r radijus, h visina.

Analiza

Integrali

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{2}$ (pogledajte π)

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\pi$ (pogledajte π)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}=\pi$ (integral oblika arctan preko svog cijelog domena, date period tan).

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ (pogledajte normalna raspodjela).

$\oint \frac{dz}{z}=2\pi i$ (kada se put integracije omota kednom u smijeru suprotnom od kazaljke na satu oko 0. Pogledajte Cauchyjeva integralna formula)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\frac{\pi }{2}.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi$ (pogledajte dokaz da 22 podijeljeno sa 7 prelazi vrijednost π]]).

Valjani beskonačni redovi

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{(2k+1)!!}=\frac{\pi }{2}$ (pogledajte dvostruki faktorijel)

$12\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!{)}^{3}640320^{3k+3/2}}=\frac{1}{\pi }$ (pogledajte Braća Čudnovski)

$\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!{)}^{4}396^{4k}}=\frac{1}{\pi }$ (pogledajte Srinivasa Ramanujan)

$\frac{\sqrt{3}}{6^5}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{((4k)!{)}^2(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!}(\frac{127169}{12k+1}-\frac{1070}{12k+5}-\frac{131}{12k+7}+\frac{2}{12k+11})=\pi$

Slijedeć formule su pogodne za računanje proizvoljnih binarnih decimala broja π:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^k}(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6})=\pi$ (pogledajte Bailey-Borwein-Plouffeova formula)

$\frac{1}{2^6}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{2^{10n}}(-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9})=\pi$

Ostali beskonačni redovi

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\arctan 1=\frac{\pi }{4}$ (pogledajte Leibnizova formula za pi)

$\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$ (pogledajte Baselov problem i zeta funkcija)

$\zeta (4)=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}$

$\zeta (2n)=\frac{1}{1^{2n}}+\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}+\frac{1}{4^{2n}}+\cdots =(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{8}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^3}=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots =\frac{{\pi }^3}{32}$

Machinove formule

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$ (originalna Machinova formula)

$\frac{\pi }{4}=\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}$

$\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1}{2}-\arctan \frac{1}{7}$

$\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{7}$

$\frac{\pi }{4}=5\arctan \frac{1}{7}+2\arctan \frac{3}{79}$

$\frac{\pi }{4}=12\arctan \frac{1}{49}+32\arctan \frac{1}{57}-5\arctan \frac{1}{239}+12\arctan \frac{1}{110443}$

$\frac{\pi }{4}=44\arctan \frac{1}{57}+7\arctan \frac{1}{239}-12\arctan \frac{1}{682}+24\arctan \frac{1}{12943}$

Beskonačni proizvodi

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\frac{\pi }{2}$ (pogledajte Wallisov proizvod)

Vietaova formula:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot \cdots =\frac{2}{\pi }$

Tri neprekidna razlomka

$3+\pi =6+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{\ddots }}}}$

$\frac{4}{\pi }=1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{\ddots }}}}$

$\pi =\frac{4}{1+\frac{1}{2+\frac{9}{2+\frac{25}{2+\frac{49}{\ddots }}}}}$

Za više informacija o trećem identitetu, pogledajte Eulerova formula za neprekidni razlomak.

(Također pogledajte članke neprekidni razlomak i uopćeni neprekidni razlomak.)

Razno

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ (Stirlingova aproksimacija)

$e^{i\pi }+1=0$ (Eulerov identitet)

$\sum _{k=1}^n\phi (k)\sim \frac{3n^2}{{\pi }^2}$ (pogledajte Eulerova fi funkcija)

$\sum _{k=1}^n\frac{\phi (k)}{k}\sim \frac{6n}{{\pi }^2}$ (pogledajte Eulerova fi funkcija)

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$ (pogledajte gama funkcija)

$\pi =\frac{\mathrm{\Gamma }{\left(1/4\right)}^{4/3}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(1,\sqrt{2}{)}^{2/3}}{2}$ (gdje je ags aritmetičko-geometrijska sredina)

Fizika

• Kosmnološka konstanta:

$\mathrm{\Lambda }=\frac{8\pi G}{3c^2}\rho$

• Heisenbergov princip neodređenosti:

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$

• Einsteinova jednačina polja opće relativnosti:

$R_{ik}-\frac{g_{ik}R}{2}+\mathrm{\Lambda }{g}_{ik}=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{ik}$

• Coulombov zakon za električnu silu:

$F=\frac{\left|q_1{q}_2\right|}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

• Magnetna permeabilnost za slobodni prostor:

${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\mathrm{N}/{\mathrm{A}}^{\mathrm{2}}$

Također pogledajte

• Pi
• Izračunavanje π
• Spisak tema vezanih za π

Reference

• Peter Borwein, The Amazing Number Pi Šablon:Webarchive