Ravanska kriva

U matematici, ravanska kriva je kriva u ravni koja može biti ili Euklidska ravan, afina ravan ili projektivna ravan. Najčešće proučavani slučajevi su glatke ravninske krive (uključujući komadno glatke ravne krive) i algebartshe ravne krive. Ravne krive također uključuju Jordanove krive (krive koje obuhvataju područje ravnine, ali ne moraju biti glatke) i grafove kontinuiranih funkcija.

Simbolski prikaz

Ravanska kriva se često može predstaviti u Cartezijanskim koordinatama implicitnom jednačinom oblika $f (x, y) = 0$ za neku specifičnu funkciju f. Ako se ova jednačina može eksplicitno riješiti za y ili x – odnosno prepisati kao $y = g (x)$ ili $x = h (y)$ za određenu funkciju g ili h – onda ovo daje alternativni, eksplicitni, oblik reprezentacije. Ravna kriva se također često može predstaviti u cartezijanskim koordinatama parametrijske jednačine oblika $(x, y) = (x (t), y (t))$ za određene funkcije $x (t)$ i $y (t) .$

Ravne krive ponekad mogu biti predstavljene i u alternativnim koordinatnim sistemima, kao što su polarne koordinate koje izražavaju lokaciju svake tačke u smislu ugla i udaljenosti od početka.

Glatka ravna kriva

Glatka ravna kriva je kriva u realnoj euklidskoj ravni Šablon:Math i jednodimenzionalna je glatka mnogostrukost. To znači da je glatka ravna kriva ravna kriva koja "lokalno izgleda kao prava", u smislu da blizu svake tačke može biti preslikana u pravu pomoću glatke funkcije. Ekvivalentno, glatka ravna kriva se može lokalno dati jednadžbom $f (x, y) = 0,$ gdje Šablon:Tmath je glatka funkcija, a parcijalni derivati Šablon:Tmath a Šablon:Tmath nikada nisu oba 0 u tački krive.

Algebarska ravna kriva

Kriva algebarske ravni je kriva u afina ili projektivna ravan data jednom polinomskom jednačinom $f (x, y) = 0$ (ili $F (x, y, z) = 0,$ gdje je Šablon:Mvar homogeni polinom, u projektivnom slučaju.)

Algebarske krive se intenzivno proučavaju od 18. stoljeća.

Svaka kriva algebarske ravni ima stepen, stepen definirajuće jednačine, koji je jednak, u slučaju algebarski zatvorenog polja, broju presjeka krive sa linija u opći položaj. Naprimjer, krug dat jednadžbom $x^{2} + y^{2} = 1$ ima stepen 2.

nesingularne ravni algebarske krive stupnja 2 nazivaju se konusni presjeks, a njihov projektivni završetak je izomorfan projektivnom kompletiranju kružnice $x^{2} + y^{2} = 1$ (to je projektivna kriva jednadžbe Šablon:Nowrap Ravan krive stepena 3 nazivaju se kriva kubične ravnis i, ako nisu singularne, eliptična krivas. One stepena 4 nazivaju se kvartična ravna krivas.

Primjeri

Brojni primjeri ravnih krivulja prikazani su u Galerija krivulja i navedeni na Lista krivulja. Ovdje su prikazane algebarske krive stepena 1 ili 2 (algebarska kriva stepena manjeg od 3 uvijek je sadržana u ravni):

Naziv	Implicitna jednačina	Parametrijska jednačina	Kao funkcija
Prava linija	$a x + b y = c$	$(x, y) = (x_{0} + α t, y_{0} + β t)$	$y = m x + c$
Krug	$x^{2} + y^{2} = r^{2}$	$(x, y) = (r \cos t, r \sin t)$
Parabola	$y - x^{2} = 0$	$(x, y) = (t, t^{2})$	$y = x^{2}$
Elipsa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	$(x, y) = (a \cos t, b \sin t)$
Hiperbola	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	$(x, y) = (a \cosh t, b \sinh t)$