Implicitna jednačina

Šablon:Calculus U matematici, implicitna jednačina je relacija oblika $R(x_1,\dots ,x_n)=0,$, gdje je Šablon:Mvar funkcija od nekoliko varijabli (često polinom). Naprimjer, implicitna jednadžba jedinični krug je $x^2+y^2-1=0.$

Implicitna funkcija je funkcija koja je definirana implicitnom jednačinom, koja povezuje jednu od varijabli, smatra se vrijednošću funkcija, dok se ostale smatraju argumentima.Šablon:Rp Naprimjer, jednadžba $x^2+y^2-1=0$ jediničnog kruga definira Šablon:Mvar kao implicitnu funkciju Šablon:Mvar ako je Šablon:Math, a Šablon:Mvar je ograničen na nenegativne vrijednosti.

Teorema o implicitnoj funkciji pruža uslove pod kojima neki tipovi implicitnih jednačina definiraju implicitne funkcije, naime one koje se dobijaju izjednačavanjem sa nula multivarijabilnih funkcija koje su kontinuirano diferencibilne.

Primjeri

Inverzne funkcije

Uobičajeni tip implicitne funkcije je inverzna funkcija. Nemaju sve funkcije jedinstvenu inverznu funkciju. Ako je Šablon:Mvar funkcija Šablon:Mvar koja ima jedinstvenu inverziju, tada je inverzna funkcija Šablon:Mvar, zvana Šablon:Math, je jedinstvena funkcija koja daje rješenje jednačine

$y=g(x)$

za Šablon:Mvar u smislu Šablon:Mvar. Ovo rješenje se tada može zapisati kao

$x=g^{-1}(y).$ Definisanje Šablon:Math kao inverznog od Šablon:Mvar je implicitna definicija. Za neke funkcije Šablon:Mvar, Šablon:Math se može eksplicitno ispisati kao izraz zatvorene forme — naprimjer, ako je Šablon:Math, onda Šablon:Math. Međutim, to često nije moguće ili samo uvođenjem nove oznake (kao u primjeru log proizvoda ispod).

Intuitivno, inverzna funkcija se dobija iz Šablon:Mvar, zamjenom uloga zavisnih i nezavisnih varijabli.

Primjer: log proizvoda je implicitna funkcija koja daje rješenje za Šablon:Mvar jednačine Šablon:Math.

Algebarske funkcije

Šablon:Glavni Algebarska funkcija je funkcija koja zadovoljava polinomsku jednadžbu čiji su koeficijenti sami polinomi. Naprimjer, algebarska funkcija u jednoj varijabli Šablon:Mvar daje rješenje za Šablon:Mvar jednačine

$a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_0(x)=0,$

gdje su koeficijenti Šablon:Math polinomske funkcije od Šablon:Mvar. Ova algebarska funkcija se može napisati kao desna strana jednačine rješenja Šablon:Math. Ovako napisana, Šablon:Mvar je višeznačna implicitna funkcija.

Algebarske funkcije imaju važnu ulogu u matematičkoj analizi i algebarskoj geometriji. Jednostavan primjer algebarske funkcije dat je lijevom stranom jednadžbe jediničnog kruga:

$x^2+y^2-1=0.$

Rješavanje za Šablon:Mvar daje eksplicitno rješenje:

$y=\pm \sqrt{1-x^2}.$

Ali čak i bez specificiranja ovog eksplicitnog rješenja, moguće je implicitno rješenje jednadžbe jediničnog kruga pozvati kao Šablon:Math, gdje je Šablon:Mvar viševrijedna implicitna funkcija.

Dok se eksplicitna rješenja mogu naći za jednačine koje su kvadratne, kubne i kvartne u Šablon:Mvar, isto nije općenito vrijedi za kvintne i jednačine višeg stepena, kao što je

$y^5+2y^4-7y^3+3y^2-6y-x=0.$

Ipak, i dalje se može pozvati na implicitno rješenje Šablon:Math koje uključuje viševrijednu implicitnu funkciju Šablon:Mvar .

Upozorenja

Ne podrazumijeva svaka jednačina Šablon:Math grafikon jednoznačne funkcije, a jednačina kružnica je jedan istaknuti primjer. Drugi primjer je implicitna funkcija data sa Šablon:Math, gdje je Šablon:Mvar kubni polinom ima "grbu" u svom grafikonu. Dakle, da bi implicitna funkcija bila "istinita" (jednoznačna) funkcija, možda će biti potrebno koristiti samo dio grafikona. Implicitna funkcija se ponekad može uspješno definirati kao istinita samo nakon "zumiranja" na nekom dijelu Šablon:Mvar-ose i "odsjecanja" nekih neželjenih grana funkcije. Tada se može napisati jednačina koja izražava Šablon:Mvar kao implicitnu funkciju ostalih varijabli. Jednačina koja definiše Šablon:Math također može imati druge patologije. Naprimjer, jednadžba Šablon:Math ne implicira funkciju Šablon:Math koja daje rješenja za Šablon:Mvar uoće; to je vertikalna linija. Da bi se izbjegao ovakav problem, često se nameću različita ograničenja na dozvoljene tipove jednačina ili na domen. Teorema o implicitnoj funkciji pruža jedinstven način rukovanja ovim tipovima patologija.

Implicitna diferencijacija

U računu, metod zvani implicitna diferencijacija koristi pravilo lanca za razlikovanje implicitno definiranih funkcija.

Za razlikovanje implicitne funkcije Šablon:Math, definisane jednadžbom Šablon:Math, općenito nije moguće to riješiti eksplicitno za Šablon:Mvar i potom diferencirati. Umjesto toga, može se potpuno diferencirati Šablon:Math u odnosu na Šablon:Mvar i Šablon:Mvar, a zatim riješiti rezultirajuću linearnu jednačinu za Šablon:Math da bi se eksplicitno dobio izvod u terminima Šablon:Mvar i Šablon:Mvar. Čak i kada je moguće eksplicitno riješiti originalnu jednadžbu, formula koja proizlazi iz totalne diferencijacije je općenito mnogo jednostavnija i lakša za korištenje.

Primjeri

Primjer 1

Zamislimo

$y+x+5=0.$

Ovu jednačinu je lahko riješiti za Šablon:Mvar, dajući

$y=-x-5,$

gdje je desna strana eksplicitni oblik funkcije Šablon:Math. Diferencijacija tada daje Šablon:Math.

Alternativno, može se potpuno razlikovati originalna jednačina:

$\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}+\frac{dx}{dx}+\frac{d}{dx}(5)& =0;\\ [6px]\frac{dy}{dx}+1+0& =0.\end{array}$

Rješavanje za Šablon:Math daje

$\frac{dy}{dx}=-1,$;

isti odgovor kao i prethodno dobijen.

Primjer 2

Primjer implicitne funkcije za koju je implicitna diferencijacija lakša od korištenja eksplicitne diferencijacije je funkcija Šablon:Math definirana jednadžbom:

$x^4+2y^2=8.$

Da bi se ovo eksplicitno razlikovalo u odnosu na Šablon:Mvar, prvo treba dobiti

$y(x)=\pm \sqrt{\frac{8-x^4}{2}},$

a zatim diferencirati ovu funkciju. Ovo stvara dva izvoda: jedan za Šablon:Math i drugi za Šablon:Math.

Znatno je lakše implicitno diferencirati originalnu jednačinu:

$4x^3+4y\frac{dy}{dx}=0,$

davanjem

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4x^3}{4y}=-\frac{x^3}{y}.$

Primjer 3

Često je teško ili nemoguće eksplicitno riješiti Šablon:Mvar, a implicitna diferencijacija je jedini izvodljivi metod diferencijacije. Primjer je jednadžba

$y^5-y=x.$

Nemoguće je algebarski izraziti Šablon:Mvar eksplicitno kao funkciju Šablon:Mvar, pa se stoga ne može pronaći Šablon:Math eksplicitnom diferencijacijom. Koristeći implicitni metod, Šablon:Math se može dobiti diferenciranjem jednačine da se dobije

$5y^4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=\frac{dx}{dx},$

gdje je Šablon:Math. Faktoriranje Šablon:Math pokazuje da

$(5y^4-1)\frac{dy}{dx}=1,$

što daje rezultat

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{5y^4-1},$

koji je definisan za

$y\ne \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}}\text{and}y\ne \pm \frac{i}{\sqrt[4]{5}}.$

Opća formula za izvođenje implicitne funkcije

Ako je Šablon:Math, derivat implicitne funkcije Šablon:Math je dat pomoćuŠablon:Rp

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial x}}{\frac{\partial R}{\partial y}}=-\frac{R_x}{R_y},$

gdje Šablon:Math i Šablon:Math označavaju djelimični derivati Šablon:Mvar u odnosu na Šablon:Mvar i Šablon:Mvar.

Gornja formula dolazi od upotrebe generalizovanog lančanog pravila da se dobije ukupni derivat — u odnosu na Šablon:Mvar — obje strane Šablon:Math:

$\frac{\partial R}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial R}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0,$

dakle

$\frac{\partial R}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0,$

koji, kada je riješen za Šablon:Math, daje izraz iznad.

Teorema implicitne funkcije

Jedinični krug može se definisati implicitno kao skup tačaka Šablon:Math koji zadovoljavaju Šablon:Math. Oko tačke Šablon:Mvar, Šablon:Mvar se može izraziti kao implicitna funkcija Šablon:Math. (Za razliku od mnogih slučajeva, ovdje ova funkcija može biti eksplicitna kao Šablon:Math.) Takva funkcija ne postoji oko tačke Šablon:Mvar, gdje je tangentni prostor okomit.

Neka Šablon:Math bude diferencijabilna funkcija dvije varijable, a Šablon:Math biti par stvarni broj takvih da je Šablon:Math. Ako je Šablon:Math, onda Šablon:Math definiše implicitnu funkciju koja se može diferencirati u nekom dovoljno malom susjedstvu od Šablon:Open-open; drugim riječima, postoji diferencijabilna funkcija Šablon:Mvar koja je definirana i diferencibilna u nekom susjedstvu Šablon:Mvar, tako da je Šablon:Math za Šablon:Mvar u ovom susjedstvu.

Uslov Šablon:Math znači da Šablon:Math je regularna tačka implicitne krive implicitne jednačine Šablon:Math gdje tangenta nije okomita. U manje tehničkom jeziku, implicitne funkcije postoje i mogu se razlikovati, ako kriva ima nevertikalnu tangentu.Šablon:Rp

U algebarskoj geometriji

Razmotrite relaciju oblika Šablon:Math, gdje je Šablon:Mvar multivarijabilni polinom. Skup vrijednosti varijabli koje zadovoljavaju ovu relaciju naziva se implicitna kriva ako je Šablon:Math i implicitna površina ako je Šablon:Math. Implicitne jednačine su osnova algebarska geometrije, čiji su osnovni predmet proučavanja simultana rješenja nekoliko implicitnih jednačina čije su lijeve strane polinomi. Ovi skupovi simultanih rješenja nazivaju se afini algebarski skupovi.

U diferencijalnim jednačinama

Rješenja diferencijalnih jednačina općenito se pojavljuju izražena implicitnom funkcijom.

Primjene u ekonomiji

Marginalna stopa supstitucije

U ekonomiji, kada je postavljen nivo Šablon:Math kriva indiferentnosti za količine Šablon:Mvar i Šablon:Mvar konzumiraju dva dobra, apsolutna vrijednost implicitnog derivata Šablon:Math tumači se kao granična stopa supstitucije dva dobra: koliko više Šablon:Mvar treba primiti da bi bio ravnodušan prema gubitku jedne jedinice Šablon:Mvar.

Marginalna stopa tehničke zamjene

Slično, ponekad je skup nivoa Šablon:Math izokvanta koji prikazuje različite kombinacije iskorišćenih količina Šablon:Mvar rada i Šablon:Mvar fizičkog kapitala od kojih bi svaki rezultirao proizvodnjom iste date količine proizvoda nekog dobra. U ovom slučaju apsolutna vrijednost implicitne derivacije Šablon:Math tumači se kao granična stopa tehničke zamjene između dva faktora proizvodnje: koliko više kapitala firma mora upotrijebiti da proizvede istu količinu autputa sa jednom jedinicom rada manje.

Optimizacija

Često u ekonomskoj teoriji, neka funkcija kao što je funkcija korisnosti ili funkcija profita treba biti maksimizirana u odnosu na vektor izbora Šablon:Mvar iako ciljna funkcija nije ograničena ni na jednu specifičnu funkcionalnu formu. Teorema implicitne funkcije garantuje da uvjet prvog reda optimizacije definiraju implicitnu funkciju za svaki element optimalnog vektora Šablon:Math vektora izbora Šablon:Mvar. Kada se profit maksimizira, obično rezultirajuće implicitne funkcije su funkcija tražnja rada i funkcija ponude različitih dobara. Kada se korisnost maksimizira, obično rezultirajuće implicitne funkcije su funkcija ponuda rada i funkcija potražnje za različita dobra. Štaviše, uticaj parameteri problema na Šablon:Math — parcijalne derivate implicitne funkcije — može se izraziti kao ukupni derivati sistema uslova prvog reda pronađenog pomoću totalne diferencijacije. Šablon:Clear

Također pogledajte

• Implicitna kriva
• Funkcionalna jednačina
• Nivo postavljeno
  • Linija konture
  • Izopovršina
• Granična stopa zamjene
• Teorema o implicitnoj funkciji
• Logaritmska diferencijacija
• Poligonizator
• Povezane stope

Dopunska literatura

• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book

Vanjski linkovi

• Archived at GhostarchiveŠablon:Cbignore and the Wayback MachineŠablon:Cbignore: Šablon:Cite webŠablon:Cbignore