P-norma

Norme na $R^2$ su realne funkcije na $R^2$ koje imaju određene osobine. Važnu klasu takvih funkcija čine p-norme.

p-norme možemo definisati za svaki realan broj $p⩾1,$ te za $p=\mathrm{\infty }$.

2-norma standardna euklidska norma

1-norma je poznata pod nazivom taxicab- norma a $\mathrm{\infty }$-normu obično nazivamo max-norma. Svaka norma definiše udaljenost (metriku). Uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.

Definicija 1

Realna funkcija $\Vert \ast \Vert$ : $R^2\to R$ naziva se norma na R² ako ima sljedeće osobine:

$\Vert (x,y)\Vert ⩾0$

$\Vert (x,y)\Vert =0<=>(x,y)=0$

$\Vert (x,y)+(u,v)\Vert \le 0<=>\Vert (x,y)\Vert +\Vert +(u,v)\Vert$

$\Vert c(x,y)\Vert =|c|\Vert (x,y)\Vert$

Za sve $(x,y),(u,v)\in R^2$ i sve $c\in R$ Zadajući neku normu na $R^2$, $R^2$ postaje normirani prostor.

Primjer norme na $R^2$ je Euklidska norma koja predstavlja dužinu dužine čije su krajnje tačke ($0,0)$ i $(x,y)$, tj.

$\Vert (x,y){\Vert }_p=\sqrt{x^2+y^2}$

koja predstavlja poseban slučaj p-normi $\Vert (x,y){\Vert }_p$

Definicija 2

Za svaki realni broj p, $p⩾1$ definišimo

$(\Vert (x,y){\Vert }_p=|x{|}^p+|y{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$

Funkcija $\Vert (x,y){\Vert }_p$ je p- norma na $R^2$ Da bi bili li sigurni da je ovo norma moramo provjeriti da li funkcija zadovoljava uslove iz definicije 1. Osobine (1), (2) i (4) se lako provjere, dok je provjera (3) poznata kao nejednakost trougla, za ovaj dokaz koristi se Youngova nejednakost.

Za sve $a,b⩾0ip,q>1$ takve da je $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ vrijedi

$ab⩽\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$

Teorema 1

Za svaki $p⩾1$ formulom

$\Vert (x,y)+(u+v){\Vert }_p\le \sqrt[p]{\Vert (x,y){\Vert }_p+\Vert (u,v){\Vert }_p}$

Dokaz

Treba dokazati da za svaki $p⩾1$ vrijedi

$\Vert (x,y)+(u+v){\Vert }_p\le \Vert (x,y){\Vert }_p+\Vert (u,v){\Vert }_p$

tj.

$\sqrt[p]{|x+u{|}^p+|y+v{|}^p}\le \sqrt[p]{|x{|}^p+|u{|}^p}+\sqrt[p]{|y{|}^p+|uv{|}^p}$

za sve $(x,y),(u,v)\in R^2$

Za $p=1$

$[|x+u|\le |x|+|u|\wedge [|y+v|\le |y|+|v|]=>|x+u|+|y+v|\le |x|+|u|+|y|+|v|$

Za $p>1$

U nejednakosti

$ab⩽\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$

uvrstit ćemo izraze za $a$ , $b$

$a=\frac{|x|}{\Vert (x,y){\Vert }_p}$ i $b=\frac{|u|}{\Vert (u,v){\Vert }_q}$ a zatim

$a=\frac{|y|}{\Vert (x,y){\Vert }_p}$ i $b=\frac{|v|}{\Vert (u,v){\Vert }_q}$

dobijamo nejednakosti

$\frac{|x|}{\Vert (x,y){\Vert }_p}*\frac{|u|}{\Vert (u,v){\Vert }_q}⩽\frac{|x{|}^p}{p\Vert (x,y){\Vert }_p}*\frac{|u{|}^q}{q\Vert (u,v){\Vert }_q}$

$\frac{|y|}{\Vert (x,y){\Vert }_p}*\frac{|v|}{\Vert (u,v){\Vert }_q}⩽\frac{|y{|}^p}{p\Vert (x,y){\Vert }_p}*\frac{|v{|}^q}{q\Vert (u,v){\Vert }_q}$

saberemo li ih dobijamo nejednakosti

$\frac{|x||u|+|y||v|}{\Vert (x,y){\Vert }_p\Vert (u,v){\Vert }_q}⩽\frac{|x{|}^p+|y{|}^p}{p\Vert (x,y){\Vert }_p}+\frac{|u{|}^q+|v{|}^q}{q\Vert (u,v){\Vert }_q}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

tj

$|x||u|+|y||v|⩽\sqrt[q]{x^p+y^p}+\sqrt[p]{u^q+v^q}$ za svako $x,y,u,v\in R$

Ako uzmemo $(x+u{)}^{p-1}$ za $u$ i ($y+v{)}^{q-1}$ za $v$ i smatrajući $(p-1{)}_q=p$

$|x||x+u{|}^{p-1}+|y||y+v{|}^{p-1}⩽\sqrt[p]{x^p+y^p}+\sqrt[q]{u^q+v^q}$

Zamjenom uloga x i u , y i v imamo

$|u||x+u{|}^{p-1}+|v||y+v{|}^{p-1}⩽\sqrt[p]{u^p+v^p}+\sqrt[q]{|x+u{|}^p+|y+p{|}^p}$

$|x+u{|}^p+|y+v{|}^p=|x+u||x+u{|}^{p-1}+|y+v||y+v{|}^{p-1}$

$⩽(|x|+|u||x+u{|}^{p-1}+(|y|+|v|)|y+v{|}^{p-1}=$

$|x||x+u{|}^{p-1}+|u||x+u{|}^{p-1}+|y||y+v{|}^{p-1}+|v||y+v{|}^{p-1}=$

na osnovu ranijih nejednakosti imamo

$\sqrt[p]{|x{|}^p+|y{|}^p}\sqrt[q]{|x+u{|}^p+|y+v{|}^p}+\sqrt[p]{|u{|}^p+|v{|}^p}\sqrt[q]{|x+u{|}^p+|y+v{|}^p}$

odnosno

$|x+u{|}^p+|y+v{|}^p⩽(\sqrt[p]{|x{|}^p+|y{|}^p}+\sqrt[p]{|u{|}^p+|v{|}^p})(|x+u{|}^p+|y+v{|}^p))$

Dijeljenjem s drugim faktorom s desne strane slijedi

$\sqrt[n]{|x+u{|}^p+|y+v{|}^p}⩽(\sqrt[p]{|x{|}^p+|y{|}^p}+\sqrt[p]{|u{|}^p+|v{|}^p})$

Izvor

p-norme na $R^2$ , kružnice $S_p$ i brojevi ${\pi }_p$ // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)