Limes (matematika)

Šablon:Preusmjerenje Šablon:Nedostaju izvori U matematici, granična vrijednost ili limes se koristi za opisivanje ponašanja funkcije kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata niza kako njihov indeks raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u kalkulusu i drugim granama matematičke analize kako bi se definisala derivacija i neprekidnost.

Granična vrijednost funkcije

Pretpostavimo da je ƒ(x) funkcija realne vrijednosti i da je c realan broj. Izraz:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

znači da se ƒ(x) proizvoljno može približiti broju L ako je x dovoljno blizu broja c. U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od x, kada x teži u c, broj L".

Formalna definicija

Kad god je x unutar δ jedinica od p, f(x) je unutar ε jedinica od L

Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:

Neka f bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući c (osim u c) i neka L bude realan broj.

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

znači da

za svaki realan broj ε > 0 postoji realan broj δ > 0 takav da za svako x sa 0 < |x − c| < δ, imamo |f(x) − L| < ε.

ili, simbolički,

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x(|x-c|<\delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon ).$

Granična vrijednost niza

Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.

formalno, pretpostavimo da je x₁, x₂, ... niz realnih brojeva. Kažemo da je realan broj L granična vrijednost ovog niza i to pišemo kao

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=L$

što riječima znači

Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj n₀ takav da za svako n > n₀, vrijedi |x_n − L| < ε.

Korisni identiteti

• $\underset{n\to c}{\lim }S\cdot f(n)=S\cdot \underset{n\to c}{\lim }f(n)$, gdje je S skalarni množilac.
• $\underset{n\to c}{\lim }{b}^{f(n)}=b^{\underset{n\to c}{\lim }f(n)}$, gdje je b konstanta.

Sljedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.

• $\underset{n\to c}{\lim }(f(n)+g(n))=\underset{n\to c}{\lim }f(n)+\underset{n\to c}{\lim }g(n)$
• $\underset{n\to c}{\lim }(f(n)-g(n))=\underset{n\to c}{\lim }f(n)-\underset{n\to c}{\lim }g(n)$
• $\underset{n\to c}{\lim }(f(n)\cdot g(n))=\underset{n\to c}{\lim }f(n)\cdot \underset{n\to c}{\lim }g(n)$
• $\underset{n\to c}{\lim }\frac{f(n)}{g(n)}=\frac{\underset{n\to c}{\lim }f(n)}{\underset{n\to c}{\lim }g(n)}$, ako limes u nazivniku nije jednak nuli

Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.

Na primjer, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(3n+2)+(2-3n)=4$, ali $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(3n+2)+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(2-3n)$ je nedefinisan.

Veoma važne granične vrijednosti

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e.$

L'Hôpitalovo pravilo

Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)

• $\underset{n\to c}{\lim }\frac{f(n)}{g(n)}=\underset{n\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(n)}{g^{\prime }(n)}$

Na primjer:

$\underset{n\to 0}{\lim }\frac{\sin (2n)}{\sin (3n)}=\underset{n\to 0}{\lim }\frac{2\cos (2n)}{3\cos (3n)}=\frac{2\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}.$

Sume i integrali

Kraći način zapisivanja granične vrijednosti $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=s}^{n}f(i)$ je $\sum _{i=s}^{\mathrm{\infty }}f(i)$.

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{n}{\int }}f(x)dx$ je $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$.

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti $\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ je $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Također pogledajte

• Jednostrana granična vrijednost
• Teorem stiska