Jednostrana granična vrijednost

Šablon:Nedostaju izvori U kalkulusu, jednostrana granična vrijednost je jedna od dvije granične vrijednosti funkcije f(x) realne varijable x kada x teži specifičnoj tački bilo odozdo ili odozgo. To se zapisuje na slijedeće načine:

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\mathrm{o}\mathrm{r}\underset{x\downarrow a}{\lim }f(x)$

za granično vrijednost kada x teži u a odozgo (ili "sa desne strane"), te slično tome

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\mathrm{o}\mathrm{r}\underset{x\uparrow a}{\lim }f(x)$

za granično vrijednost kada x teži u a odozdo (ili "sa lijeve strane").

Dvostrane granične vrijednosti postoje i jednake su ako i samo ako postoji granična vrijednost od f(x) kada x teži u a. U nekim slučajevima, u kojima granična vrijednost

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$

ne postoji, dvostrane granične vrijednosti iapk postoje. Posljedično, granična vrijednost kada x teži u a ponekad se naziva "dvostrana granična vrijednost". U nekim slučajevima, jedna od dvije jednostrane granične vrijednosti postoji, dok druga ne postoji, dok u nekim slučajevima ne postoji ni jedna.

Primjeri

Jedan primjer funkcije sa različitim jednostranim graničnim vrijednostima je slijedeća:

Fukcija $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& \text{ za }x<3\\ 11-(x-3{)}^2& \text{ za }x>3\end{array}$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{1+2^{-1/x}}=1,$

gdje je

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{1+2^{-1/x}}=0.$

Drugi primjer je izlomljena funkcija

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& \text{ for }x<3\\ 11-(x-3{)}^2& \text{ for }x>3\end{array}$

U tački x₀ = 3 granična vrijednost sa lijeve strane je

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=9$

dok je granična vrijednost sa desne strane

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=11.$

Pošto ove dvije granične vrijednosti nisu jednake, za ovu funkciju se kaže da ima skokoviti prekid u x₀.

Veza sa topološkom definicijom granične vrijednosti

Jednostrana granična vrijednost u tački p odgovara općoj definicije granične vrijednosti, sa domenom funkcije odgraničenim na jednu stranu, bilo uzimanjem da je domen funkcije podskup topološkog prostora, ili razmatrajući podprostor jednostrane granične vrijednosti, uključujući i p.

Abelov teorem

Značajan teorem koji tretira jednostranu graničnu vrijednost određenih potencijalnih redova u granicama njihovih intervala konvergencije je Abelov teorem.

Također pogledajte

• Granična vrijednost funkcije
• Realna projektivna linija