Integracija trigonometrijskih proizvoda kao kompleksnih eksponencijala

Šablon:Nedostaju izvori Šablon:Infinitezimalni račun Funkcije koje sadrže sinus ili kosinus mogu se izraziti kao kompleksni eksponencijali korištenjem Eulerove formule.

Primjer: Pretpostavimo da želimo integrisati:

$\int e^x\cos xdx$

Tada kosinusna funkcija može biti izražena u svom Eulerovom obliku: $\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$

$\int e^x\cdot \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}dx$

$\frac{1}{2}\int e^{x(1+i)}+e^{x(1-i)}dx$

Ova funkcija je mnogo lakša za integrisanje.

Alternativno, možemo razmatrati realni i imaginarni dio kompleksnih brojeva

Kosinus je realni dio kompleksnog broja napisanog u obliku cos x + i sin x

$\int e^x\cos xdx=$

$\int e^x\mathrm{R}\mathrm{e}\{\cos x+i\cdot \sin x\}dx$

$\int e^x\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{ix}\}dx$

$\mathrm{R}\mathrm{e}\{\int e^x{e}^{ix}dx\}$

$\mathrm{R}\mathrm{e}\{\int e^{(i+1)x}dx\}$

Također pogledajte

• Integracione tehnike
• Integral
• Derivacija