Relacija (matematika)

Šablon:Nedostaju izvori Neka je zadan skup $A=1,2,3$, onda je

$A\times A=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)$

Posmatrajmo parove gdje je prva koordinata manja od druge.

Skup {(1,2), (1,3),(2,3) } je relacija između elementa skupa A (relacija predstavlja vezu među veličinama).

Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A manji je od (veći je od) elementa y iz B. Ovo je relacija biti manji od (biti veći od). Relaciju biti veći od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }. Neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.

Definicija

Binarna relacija $R$ između dva skupa $A$ i $B$ je podskup kartezijevog proizvoda

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}:$ $R\subseteq A\times B.$

Važnije binarne relacije

Refleksivna relacija

Za relaciju $R\subset A\times A$ kažemo da je refleksivna (povratna) onda i samo onda ako je $aRa$ za $a\in A$ tj ako R sadrži dijagonalu $D(A^2)$

$(\mathrm{\forall }a)(a\in A)aRa$

Antirefleksivnost

$(\mathrm{\forall }a\in A)(a,a)\notin A$

Simetrična relacija

Za relaciju $R\subset A\times A$ kažemo da je simetrična ako ima osobinu Ako je $aRb$ onda je i $bRa$ tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali $D(A^2)$

$(\mathrm{\forall }a,b)(a,b\in A)aRb\Rightarrow bRa$

Tranzitivne relacije

Za relaciju $R\subset A\times A$ kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu Ako je $aRb\wedge bRc$ onda je $aRc$ tj

$(\mathrm{\forall }a,b,c)(a,b,c\in A)aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$

Antisimetrična relacija

Za relaciju $R\subset A\times A$ kažemo da je antisimetrična ako i samo ako ima osobinu ako je $aRb\wedge bRa$ onda je $a=b$ tj

$(\mathrm{\forall }a,b)(a,b\in A)aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$

Zakon trihitomije

Za binarnu relaciju $R$ zadanu na skupu $S$ kažemo da zadovoljava zakon trihotomije ako i samo ako vrijedi

$a<b,b<a\vee a=b$

Relacija ekvivalencije

Relacija ekvivalencije je relacija koja je:

1. Refleksivna
2. Simetrična
3. Tranzitivna

Primjer biti paralelan

$a\parallel a$ po definiciji za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.

$a\parallel b=>b\parallel a$

$a\parallel b\wedge b\parallel c=>a\parallel c$

Ako je $R$ relacija ekvivalencije na skupu $A$ i $a$ iz $A$ onda skup svih elemenata $x$ iz $A$ za koje vrijedi $xRa$ zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa $a$ u odnosu na relaciju $R$ i označavamo sa $C_a$ tj

Teorema

Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu $R$ određuje rastavljanje skupa $A$ na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije. Svako disjunkno rastavljanje skupa $A$ određuje u $A$ relaciju ekvivalencije.

Ako je $R$ relacija ekvivalencije u skupu $A$ onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata sobzirom na relaciju $R$ označavamo sa $A/R$ i nazivamo kvocijentni skup skupa $A$ modulo $R$.

Neka je data ravan $\alpha$, prava $a$ i tačke $A,B,C$ u toj ravni. Tačke $A,B,C$ ne leže na pravoj $a$. Prava $a$ siječe duž $AB$ ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži $AB$.

Uređajna relacija

Relacija $R\subset A\times A$ zove se relacija parcijalnog uređenja skupa $S$, a skup $S$ parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju $R$ ako je ona

• refleksivna
• tranzitivna
• antisimetrična

Relacija je relacija strogog poretka (striktnog uređenja) ako je:

• antirefleksivna
• antisimetrična
• tranzitivna

Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva zove se linearno (potpuno) uređen skup.

Relacija $\le$ je linearno uređena relacija

$a\le a$

$a\le b$ & $b\le a$ onda je $a=b$

ako je $a\le b$ & $b\le c$ onda je i $a\le c$

U elementarnoj matematici postoje tri osnovne relacije uređenje(poretka):

1. $x<y$ (Primjer: $2<3$ "2 je manje od 3")
2. $x=y$ (Primjer: $3=3$ "3 ije jednako 3")
3. $x>y$ (Primjer: $3>2$ "3 ije veće od 2")

za $x,y\in ℝ$.

Dva realna broja su određena tačno jednom relacijom uređenja

• $x\le y$, ako je $x<y$ ili $x=y$ (Primjer: $4\le 5$)
• $x\ge y$, ako je $x>y$ ili $x=y$ (Primjer: $5\ge 5$)
• $x\ne y$, ako je $x<y$ ili $x>y$ (Primjer: $4\ne 5$)

za $x,y\in ℝ$.

Za binarnu relaciju $R$ definisanu na skupu S podskup od AxA kažemo da je strogo linearno urđena ako za nju vrijedi zakon tranzitivnosti.

Neka je$\le$ uređajna relacija u skupu S (ne nužno) uređajna je ako su a, b, c elementi iz S ili ako je $a\le b$ & $b\le a$

Neka je $\le$ uređajna relacija u skupu $S$ ako su $a,b$ elementi iz $S$ i vrijedi $a\le b$ kažemo da je $a$ predhodnik elementa $b$, a ako vrijedi $b\le a$ onda je $b$ sljedbenik elementa $a$ s obzirom na relaciju $\le$.

Neka je $\le$ uređajna relacija u $S$ i neka je $A$ podskup od $S$ onda ako u $S$ postoji takav element $m$ da za svako $a$ iz $A$ vrijedi $m\le a$ onda $m$ nazivamo minoranta donja granica skupa $A$.

Analogno ako postoji $M$ iz $A$ da za svako $a$ iz $A$ vrijedi a $a\le M$. onda $M$ nazivamo majoranta gornja granica skupa $A$.

Nekaj je $\le$ uređajna relacija skupa $S$ i ako je $A$ podskup od $S$ skup svih mjoranata skupa $A$ označimo ga sa $P$, a skup svih majoranata skupa $A$ označimo sa $Q$. Ako postoji $maxP$ zovemo ga infinum od A (oznaka $infA$), a ako postoji $minQ$ zovemo supremum oznaka $supQ$.

Inverzna relacija

Inverzna relacija definisana na relaciji $R\subseteq A\times B$ je

$R^{-1}=\{(b,a)\in B\times A\mid (a,b)\in R\}.$

Primjer 1

Inverzni odnos odnos "suprug od" o odnosu "njegova supruga."

Primjer

Inverzni odnos odnosa "manje od" je "veće od".

Primjeri relacija

• 
  Svi parovi $(u,v)$ su $u\in A:=\{a,b,c\}$ i $v\in B:=\{x,y,z\}$ definisani relacijom $R$ između $A$ i $B$
• 
  Primjer relacije "Osoba X proučavao predmet y".
• 
  Primjer relacije "osoba X voli y osobu".
• 
  Relacija "osoba x je žena" podskup je osnovnog skupa
• 
  trostruka relacija. "Osoba x podučava osobu z predmet y"

Izvor

Skupovi, relacije, funkcije

Linkovi

1. Relation – Mathe für Nicht-Freaks
2. Binäre Relation – Mathe für Nicht-Freaks