Binomna teorema

Šablon:Nedostaju izvori U elementarnoj algebri, binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k(1)$

za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y, te bilo koji nenegativan cijeli broj n. Binomni koeficijent, koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n!:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5:

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$

$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

$(x+y{)}^4=x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4$

$(x+y{)}^5=x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5.$

"Binomni tip"

Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz

$\{x^k:k=0,1,2,\dots \}$

iz binomnog tipa.

Dokaz

Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije. Kada je n = 0, imamo da je

$(a+b{)}^0=1=\sum _{k=0}^0(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{k})a^{0-k}{b}^k.$

Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent m. Tada, za n = m + 1

$(a+b{)}^{m+1}=a(a+b{)}^m+b(a+b{)}^m$

$=a\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k}{b}^k+b\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})a^{m-j}{b}^j$

po hipotezi indukcije

$=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})a^{m-j}{b}^{j+1}$

množeći sa a i b dobijamo

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})a^{m-j}{b}^{j+1}$

izvlačimo član k = 0

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{k=1}^{m+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})a^{m-k+1}{b}^k$

i kažemo da je j = k − 1

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})a^{m+1-k}{b}^k+b^{m+1}$

izvlačimo član k = m + 1 sa desne strane

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^m[(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})]a^{m+1-k}{b}^k$

te kombinujemo dobijene sume

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})a^{m+1-k}{b}^k$

iz Pascalovog pravila imamo da je

$=\sum _{k=0}^{m+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})a^{m+1-k}{b}^k$

dodajemo u m + 1 članova.

Binomni broj

Binomni broj je broj u obliku $x^n\pm y^n$ (kada je n najmanje 2). Kada je znak ili ako je n neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski:

$x^n\pm y^n=(x\pm y)(x^{n-1}\mp x^{n-2}y+\cdots \mp x{y}^{n-2}+y^{n-1}).$

Primjeri:

$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

$x^8-y^8=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$

Da bi razložili $x^n-y^n$ na faktore, koristite izraz

$x^n-y^n=(x-y)\left(\sum _{k=0}^{n-1}{x}^k{y}^{n-1-k}\right).$

Također pogledajte

• Binomna distribucija
• Binommna vjerovatnoća
• Inverzni binomni teorem
• Binomni red
• Kombinacija
• Stirlingova aproksimacija
• Multinomni teorem
• Negativna binomnna distribucija
• Pascalov trougao

Reference

• Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.

Vanjski linkovi

• Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.