1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

Prvih 6 trokutnih brojeva

Suma svih prirodnih brojeva 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, može se pisati i kao

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^1,$

je divergentan red; suma prvih n članova može se pronaći koristeći se formulom $\frac{n(n+1)}{2}$.

Iako na prvi pogleda red nema neku značajnu vrijednost, može se manipulacijom ovog reda doći mnoštva matematički interesantnih rezultata, koji, čak, imaju primjenu u drugim oblastima, kao što su kompleksna analiza i kvantna terija polja.

Dokaz formule za parcijalnu sumu

Dokaz da je sum prirodnih brojeva do n $\frac{n(n+1)}{2}$ može se dokazati na mnoštvo načina. Najprije, neka je

$S_n=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.$

Članovi se mogu pregrupisati i napisati od zadnjeg pa do prvog:

$S_n=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.$

Ako saberemo ova dva, član po član, dobijamo:

$2S_n=\underset{n}{\underbrace{(n+1)+((n-1)+2)+((n-2)+3)+\cdots +(3+(n-2))+(2+(n-1))+(1+n)}}$

$2S_n=\underset{n}{\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)}}$

$2S_n=n\cdot (n+1)$

$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Sumiranje i analitičko produženje zeta funkcije

Ramanujanova suma 1 + 2 + 3 + 4 + · · · iznosi −¹⁄₁₂.

Kada je realni dio od s veći od 1, Riemannova zeta-funkcija od s jednaka je sumi $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}$. Ova suma divergira kada je realni dio od s manji od 1, ali kada je s = −1 tada analitičko produženje od ζ(s) daje ζ(−1) kao −¹⁄₁₂.

Također pogledajte

• Beskonačni aritmetički red
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
• Trouglasti broj

Reference

• Šablon:Cite book
• Šablon:Cite book

Dalje čitanje

• Šablon:Cite journal
• Šablon:Cite book See pp. 65–6 on the Casimir effect.
• Šablon:Cite book See p. 293.

Vanjski linkovi

• This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147)
  • Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −¹⁄₁₂