1 + 1 + 1 + 1 + · · ·

1 + 1 + 1 + 1 + · · ·

poslije izravnanja

1 + 1 + 1 + 1 + · · ·, može se pisati i kao $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^0$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{1}^n$, ili $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1$, je divergentni red. To znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do neke granice u skupu realnih brojeva.

Niz $1^n$ može se posmatrati kao geometrijski niz sa zajedničkim odnosom $1$. Za razliku od drugih geometrijskih nizova sa racionalnim odnosom (osim -1), ne konvergira u realne brojeve.

Kada se pojavi u primjeni u fizici, red 1 + 1 + 1 + 1 + · · · se može interpretirati pomoću regularizacije zeta funkcije. To je vrijednost Riemannove zeta funkcije za $s=0$

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$ $=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s},$

Gore navedene formule ne važe za nulu, međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije,

Asimptotsko ponašanje izravnanja. U-presjek linije je $-1/2$

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s),$

Koristeći ovaj dobija se (s obzirom da je $\mathrm{\Gamma }(1)=1$),

$\zeta (0)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\zeta (1-s)=$

$\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }(\frac{\pi s}{2}-\frac{{\pi }^3{s}^3}{48}+...)(-\frac{1}{s}+...)=-\frac{1}{2}$

u kojoj je funkcija definisana, gdje red divergira po analitičkom produženju. U tom smislu vrijedi 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −¹⁄₂.

Može se reći da je

$\sum _{n=1}^m{n}^0=m$

Lako se dokazuje matematičkom indukcijom.

$\sum _{n=1}^1{n}^0=1^0=1$

$\sum _{n=1}^2{n}^0=1^0+2^0=1+1=2$

$\sum _{n=1}^3{n}^0=1^0+2^0+3^0=1+1+1=3$

$\sum _{n=1}^4{n}^0=1^0+2^0+3^0+4^0=1+1+1+1=4$

$\frac{n^m}{n^m}=n^{m-m}=n^0=1$ Tvrdnja ne važi za $n=0$ jer $0^0$ nema smisla

U Dekartovom koordinantnom sistemu

Dekartov koordinantni sistem

U Dekartovom koordinantnom sistemu funkcija $f(x)=\sum _{n=1}^x{n}^0$ sadrži iste tačke kao funkcija $f(x)=x$

Za $x>0$

Funkcija $f(x)=k\sum _{n=1}^x{n}^0$ predstavlja linije u I kvadrantu za $:k\ge 0$

Funkcija $f(x)=k\sum _{n=1}^x{n}^0$ predstavlja linije u IV kvadrantu za $k\le 0$ .

Za $x<0$:

Funkcija $f(x)=k\sum _{n=1}^{-x}{n}^0$ predstavlja linije u II kvadrantu $k\ge 0$ .

Funkcija $f(x)=k\sum _{n=1}^{-x}{n}^0$ predstavlja linije u III kvadrantu za $k\le 0$ .

Demonstracija zbira

Carl Friedrich Gauss, otkrio trouglaste brojeve

$\sum _{n=1}^m{n}^0=\sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=0}^{m-1}n$

$\sum _{n=1}^m{n}^0=m$

$\sum _{n=1}^{m}n=\frac{m(m+1)}{2}$

$\sum _{n=0}^{m-1}n=\frac{m(m-1)}{2}$

$\sum _{n=1}^m{n}^0=\frac{m(m+1)}{2}-\frac{m(m-1)}{2}=\frac{m}{2}(m+1-m+1)=\frac{m}{2}(2)=m$

$\frac{m(m+1)}{2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{2})$ što je trouglasti broj koji je otkrio Gauss.

Formule

Razlika između zbirova

$\sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=1}^m{n}^0=\sum _{n=0}^{m-1}n$

Za $m=1,2$

$m=1$

$\sum _{n=1}^{1}n-\sum _{n=1}^1{n}^0=\sum _{n=0}^{0}n$ koji odgovara

$\sum _{n=1}^{1}1-\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=0}^{0}0=1-1=0$ što znači $0=0$

$m=2$

$\sum _{n=1}^{2}n-\sum _{n=1}^2{n}^0=\sum _{n=0}^{1}n$ koji odgovara

$\sum _{n=1}^{2}1+2-\sum _{n=1}^{2}2=\sum _{n=0}^{1}1=3-2=1$ što znači $1=1$

Formule koje se odnose na razliku

$\sum _{n=1}^m{n}^0=\sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=0}^{m-1}n$

možemo dobiti slične

$\sum _{n=1}^m{n}^0=\sum _{n=0}^{m-1}n-\sum _{n=-1}^{m-2}n$

$\sum _{n=1}^m{n}^0=\sum _{n=-1}^{m-2}n-\sum _{n=-2}^{m-3}n$

$\sum _{n=1}^m{n}^0=\sum _{n=-2}^{m-3}n-\sum _{n=-3}^{m-4}n$

za $m=1,2$:

$\sum _{n=1}^1{n}^0=\sum _{n=0}^{0}n-\sum _{n=-1}^{-1}n=\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=0}^{0}0-\sum _{n=-1}^{-1}-1$ što znači $1=0+1$ odnosno $1=1$ .

$\sum _{n=1}^2{n}^0=\sum _{n=0}^{1}n-\sum _{n=-1}^{0}n=\sum _{n=1}^{1}2=\sum _{n=0}^{2}1-\sum _{n=-1}^0-1$ što znači $2=1+1$ odnosno $2=2$

$\sum _{n=1}^1{n}^0=\sum _{n=-1}^{-1}n-\sum _{n=-2}^{-2}n=\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=-1}^{-1}-1-\sum _{n=-2}^{-2}-2$ što znači $1=-1+2$ odnosno $1=1.$

$\sum _{n=1}^2{n}^0=\sum _{n=-1}^{0}n-\sum _{n=-2}^{-1}n=\sum _{n=1}^{2}2=\sum _{n=-1}^0-1-\sum _{n=-2}^{-1}-3$ što znači $2=-1+3$ odnosno $2=2$ .

$\sum _{n=1}^1{n}^0=\sum _{n=-2}^{-2}n-\sum _{n=-3}^{-3}n=\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=-2}^{-2}-2-\sum _{n=-3}^{-3}-3$ što znači $1=-2+3$ odnosno $1=1$

$\sum _{n=1}^2{n}^0=\sum _{n=-2}^{-1}n-\sum _{n=-3}^{-2}n=\sum _{n=1}^{2}2=\sum _{n=-2}^{-1}-3-\sum _{n=-3}^{-2}-5$ što znači $2=-3+5$ odnosno a $2=2$

Opšta formula koja se odnosi na razliku

$\sum _{n=1}^m{n}^0=\sum _{n=-k+1}^{m-k}n-\sum _{n=-k}^{m-(k+1)}n$

$k=0,1,2,3,...$ na skupu $\mathbb{N}$.

Formule koje se odnose na proizvod

$\sum _{n=1}^{m+1}{n}^0\cdot \prod _{p=1}^m(\frac{p}{p+1})=1$

$\sum _{n=1}^{m+1}{n}^0=m+1e\prod _{p=1}^m(\frac{p}{p+1})=\frac{1}{m+1}$

kad pomnožimo dobijemo $m+1\cdot \frac{1}{m+1}=1$

$\sum _{m=1}^s(\sum _{n=1}^{s+1}{n}^0\cdot \prod _{p=1}^s(\frac{p}{p+1}))=\sum _{n=1}^s{n}^0$

Također pogledajte

• Grandijev red

Vanjski linkovi

• Šablon:OEIS

Izvor

• The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation/ 10.april 2010
• Cosmology: Techniques and Observations /