Kvadratna jednačina

Šablon:Nedostaju izvori Pojam kvadratna jednačina u matematici označava jednačinu drugog stepena, to znači jednačina sa jednom nepoznatom,u kojoj se nepoznata kvadrirana (x²). U osnovnom obliku kvadratna jednačina izgleda ovako:

a x^{2} + b x + c = 0

Gdje su a, b realni brojevi, tzv. koeficijenti te jednačine, x je nepoznata. Koeficijent a je uvijek različit od nule, tj. kada je a = 0 radi se o linearnoj jednačini. Često se kvadratna jednačina izrazuje u normiranom obliku, gdje a = 1. Do tog oblika može se prevesti bilo koja jednačina, dijeljenjem sa koeficijentom a.

Pojedinačni članovi imaju svoje nazive: ax² je kvadratni član, bx je linearni član i c je slobodni ili apsolutni član.

Rješavanje jednačine

Prilikom rješavanja, najprije se izračuna tzv. diskriminanta $D = b^{2} - 4 a c$ . U zavisnosti od njene vrijednosti mogu nastati tri slučaja:

D = 0, tada jednačina ima jedno (tzv. dvostruko) rješenje $x = \frac{- b}{2 a}$ . Prvobitnu jednačinu je moguće zapisati u obliku $a (x + \frac{b}{2 a})^{2} = 0$ .
D > 0, tada jednačina ima dva različita realna rješenja $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ . Jednačinu je moguće zapisati u obliku $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ .
D < 0, tada jednačina nema realnih rješenja. Njena rješenja su dva kompleksna broja $x_{1, 2} = \frac{- b \pm i \sqrt{- D}}{2 a}$ . Jednačinu je moguće napisati u obliku $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ .

Kompleksni koeficijenti

U najobičnijim slučajevima koeficijenti $a, b, c$ mogu da budu kompleksni brojevi. Rješenje opet nalazimo izračunavanjem diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ i njenog drugog korijena u domeni realnih brojeva. Formula za rješavanje je ista kao i kada su u pitanju realni koeficijenti. $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ . Rješenja su obično dva kompleksna broja, i među njima ne mora postojati nikakav odnos. Jednačinu je opet moguće napisati u obliku $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ . U slučaju da je diskriminanta nula, jednačina ima samo jedno rješenje $x_{0}$ i oblik $a (x - x_{0})^{2} = 0$ .

Dalje jednakosti

Za rješenja jednačine moraju vrijediti i sljedeće jednakosti (tzv. Vièteove formule):

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$
$x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

Geometrijsko značenje

Lijevu stranu jednačine (ax² + bx + c) opisuje parabola s osom paralenom osi y. Ako je a>0, parabola je otvorena prema gore (tj. tjeme je dole), za a<0 otvorena je prema dole (tjeme je gore). Rješavanju kvadratne jednačine odgovara traženje presjeka te parabole s osom x. U zavisnosti od položaja parabole, nastaju sljedeći slučajevi:

Cijela parabola leži nad (za a>0) ili pod (pro a<0) osom x. To nastane u slučaju, kada je D<0. Tada parabola nema presječnih tačaka s osom x, što znači, da kvadratna jednačina nema realnih rješenja
Tjeme parabole leži na osi x. To nastane u slučaju, kada je D=0. Tada parabola i osa x se dodiruju, tj. iamju samo jednu presječnu tačku, drugim rječima kvadratna jednačina ima samo jedno rješenje.
Osa x sječe parabolu u dvije tačke. To nastane u slučaju, kada je D>0. Tada jednačina ima dva realna i različita rješenja.

x² − x + 1: Cijela parabola je nad osom x.
−x² − 2x − 2: Cijela parabola je pod osom x.
−x² + 2x − 1: Parabola dotiče osu x.
x² − 5x + 2: Osa x sječe parabolu u dvije tačke.