Prirodni logaritam

Prirodni logaritam, od prije poznat kao hiperbolički logaritam, je logaritam za bazu e, gdje je e iracionalna konstanta, čija je približna vrijednost 2,718281828. Ponekad se koristi i naziv Napierov logaritam, iako se originalno značenje ovog termina malo drugačije. Jednostavno rečeno, prirodni logaritam broja x je stepen na kojeg se diže broj e kako bi se dobio taj broj x — na primjer, prirodni logaritam broja e je 1 zato što je e¹ = e, dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto je e⁰ = 1. Prirodni logaritam može se definisati za sve pozitivne realne brojeve x kao površina ispod krive y = 1/t u granicama od 1 do x, a može se definisati i kao kompleksni brojevi različiti od nule, kao što je objašnjeno u tekstu ispod.

Grafik funkcije prirodnog logaritma. Funkcija polahko raste ka pozitivnoj beskonačnosi kada x raste, a polahko ide na negativnog beskonačnosti kada x teži ka nula 0.

Funkcija prirodnog logaritma može se definirati i kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što vodi do identiteta:

$e^{\ln (x)}=x\text{ako je }x>0$

$\ln (e^x)=x.$

Drugim riješima, logaritamska funkcija je bijekcija iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup svih realnih brojeva. Preciznije, to je izomorfizam iz grupe pozitivnih realnih brojeva pod množenjem u grupu realnih brojeva pod sabiranjem. Predstavljeno kao funkcija:

$\ln :{ℝ}^{+}\to ℝ.$

Logaritmi su definisani za svaku pozitivnu bazu osim za 1, a ne samo za bazu e, te su korisni za rješavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje kao eksponent neke druge veličine.

Konvencije o oznakama

Matematičari, statističari i neki inženjeri općenito razumiju ili "log(x)" ili "ln(x)" u značenju log_e(x), npr., prirodni logaritam od x, i pišu "log₁₀(x)" ako se traži logaritam baze 10 od x.

Neki inženjeri, biolozi i neki drugi naučnici općenito pišu "ln(x)" (ili ponekad "log_e(x)") kada koriste prirodni logaritam od x, a koriste "log(x)" kada koriste log₁₀(x) ili, u slučaju nekih informatičara, log₂(x) (iako se ovo piše kao lg(x)).

Kod najčešće koristenih programskih jezika, uključujući C, C++, MATLAB, Fortran i BASIC, "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

U ručnim kalkulatorima, prirodni logaritam je označen sa ln, a log predstavlja logaritam baze 10.

U teoriji informacija i kriptografiji, "log(x)" označava "log₂(x)".

Osobine

• $\ln (x)<\ln (y)\mathrm{z}\mathrm{a}0<x<y$
• $\frac{h}{1+h}\le \ln (1+h)\le h\mathrm{z}\mathrm{a}h>-1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1.$

Derivacija, Taylorov red

Derivacija prirodnog logaritma je data sa

$\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}.$

Taylorovi polinomi za ${\log }_e$(1+x) pružaju tačnu aproksimaciju samo u intervalu -1 < x ≤ 1. Uočite da su, za x > 1, Taylorovi polinomi višeg stepena gore aproksimacije.

Ovo vodi do Taylorovog reda za $\ln (1+x)$ oko $0$; također je poznat pod nazivom Mercatorov red

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots \mathrm{z}\mathrm{a}\left|x\right|\le 1$

$\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{j}\mathrm{e}x=-1$

Desno je slika funkcije $\ln (1+x)$ i nekih njenih Taylorovih polinoma oko $0$. Ove aproksimacije konvergiraju u funkciju samo u oblasti -1 < x ≤ 1; van ove oblasti Taylorovi polinomi višeg stepena su gore aproksimacije za funkciju.

Uvrštavanjem x-1 umjesto x, dobijamo alternativni oblik za ln(x)

$\ln (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}(x-1{)}^n$

$\ln (x)=(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}-\frac{(x-1{)}^4}{4}\cdots$

$\mathrm{z}\mathrm{a}|x-1|\le 1\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{j}\mathrm{e}x=0.$

Korištenjem Eulerove transformacije na Mercatorov red, dobija se sljedeće, koje vrijedi sva svako x čija je apsolutna vrijednost veća od 1:

$\ln \frac{x}{x-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{x}^n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3}+\cdots$

Ovaj red sličan je Bailey–Borwein–Plouffeovoj formuli.

Također uočite da je $\frac{x}{x-1}$ također svoja inverzna funkcija, tako da kada želimo dobiti prirodni logaritam nekog broja y, jednostavno uvrstimo u $\frac{y}{y-1}$ za x.

Prirodni logaritam u integraciji

Prirodni logaritam dopušta jednostavnu integraciju funkcija oblika g(x) = f '(x)/f(x): antiderivacija od g(x) je data sa ln(|f(x)|). Ovo je slučaj zbog pravila derivacije proizvoda i sljedeće činjenice:

$\frac{d}{dx}(\ln \left|x\right|)=\frac{1}{x}.$

Drugim riječima,

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

i

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C.$

Slijedi primjer u slučaju kada je g(x) = tan(x):

$\int \tan (x)dx=\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)}dx$

$\int \tan (x)dx=\int \frac{-\frac{d}{dx}\cos (x)}{\cos (x)}dx.$

Neka je f(x) = cos(x), a f'(x)= - sin(x):

$\int \tan (x)dx=-\ln |\cos (x)|+C$

$\int \tan (x)dx=\ln |\sec (x)|+C$

gdje je C konstanta integracije.

Prirodni logaritam može se intergrisati pomoću parcijalnom integracijom:

$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C.$

Također pogledajte

• John Napier - izumitelj logaritma
• Logaritamska integralna funkcija
• Nicholas Mercator - pri čovjek koji je koristio termin "prirodni logaritam"
• Polilogaritam
• Von Mangoldtova funkcija
• Broj e

Vanjski linkovi

• Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained