Uvjetna konvergencija

Šablon:Nedostaju izvori U matematici, red ili integral konvergira uslovno ako on konvergira, ali ne konvergira apsolutno.

Definicija

Preciznije, red $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergira uslovno ako $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to \mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^m{a}_n$ postoji i ako je konačan broj (ne ∞ ili −∞), i ako je $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|=\mathrm{\infty }.$

Klasičan primjer ovakvog reda je

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$

koji konvergira u ln 2 , ali nije apsolutno konvergentan (pogledajte članak harmonijski red).

Najjednostavniji primjeri uslovno konvergentnih redova (uključujući i gornji primjer) su alternativni redovi.

Bernhard Riemann je dokazao da se uslovno konvergentni redovi mogu, preraspodjelom članova, dovesti u oblik u kojem konvergiraju u bilo koju sumu, uključujući ∞ ili −∞; pogledajte članak Riemannov teorem o redu.

Također pogledajte

• Apsolutna konvergencija
• Bezuslovna konvergencija

Reference

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).