Alternativni red

Šablon:Nedostaju izvori Šablon:Infinitezimalni račun U matematici, alternativni red je beskonačni red članova

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n,$

gdje je a_n ≥ 0 (ili a_n ≤ 0) za sve n. Konačna suma ove vrste reda naziva se alternativna suma. Alternativni red konvergira ako članovi a_n konvergiraju u 0 monotono. Greška E, dobijena aproksimacijom alternativnog reda sa njegovom parcijalnom sumom za n članova, data je sa |E|<|a_n+1|.

Dovoljan uslov da red konvergira je da on konvergira apsolutno. Međutim, imamo i potreban uslov za konvergenciju. Na primjer, harmonijski red

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1},$

divergira, dok alternativni red

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}$

konvergira u prirodni logaritam od 2.

Širi test konvergencije alternativnih redova je Leibnizov test: ako niz $a_n$ ponotono opadajući teži nuli, tada red

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

konvergira.

Parcijalna suma

$s_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k$

može se koristiti zaaproksimiranje sume konvergentnog alternativnog reda. Ako $a_n$ monotono opadajući teži nuli, tada je greška u aproksimaciji manja od $a_{n+1}$. Posljednja opaska i osnova Leibnizovog testa. Uistinu, ako niz $a_n$ monotono opadajući teži ka nuli (barem od neke tačka pa nadalje), može se jednostavno pokazati da niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. Pretpostavljajući da je $m<n$, imamo

$\begin{array}{ccc}|\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k|& =& |\sum _{k=m+1}^n(-1{)}^k{a}_k|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_n\\ \\ & =& a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_n<a_{m+1}\end{array}$

(niz koji monotono opada osigurava da je $a_k-a_{k+1}>0$; primijetite da se mora voditi računa da li je $n$parno ili neparno, ali ovo ne mijenja zamisao ovog dokaza)

Pošto je $a_{m+1}\to 0$ kada je $m\to \mathrm{\infty }$, niz parcijalnih suma je Cauchyjev niz, tako da je red konvergentan. Pošto gornja procjena ne zavisi od $n$, to također pokazuje da je

$|\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{a}_k|<a_{m+1}.$

Konvergentni alternativni redovi, koji ne konvergiraju apsolutno, su promjeri uslovno konvergentnih redova. Riemannov teorem o redu primijenjuje se kod preraspodjele njihovih članova.

Također pogledajte

• Nörlund-Riceov integral