Fibonaccijev broj

Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi

U matematici, Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definisan sljedećom rekurzivnom relacijom:

F (n) : = {\begin{matrix} 0 & ako je n = 0; \\ 1 & ako je n = 1; \\ F (n - 1) + F (n - 2) & ako je n > 1 . \end{matrix}

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi Šablon:OEIS, također označeni kao F_n, za n = 0, 1, … , su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040...

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F₁ = 1, ali uobičajenije je uključiti F₀ = 0.

Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.^[1]^[2]

Ako znamo Fibonaccijeve brojeve $F_{m}$ i $F_{n}$ onda možemo naći broj $F_{m + n}$ po formuli

$F_{m + n} = F_{(m - 1)} F_{n} + F_{m} F_{n + 1}$

Također imamo

$F_{2 n} = F_{n} (F_{n + 1} + F_{n - 1})$

$F_{3 n} = F_{n + 1}^{3} + F_{n}^{3} + F_{n - 1}^{3}$

Uopšteno

$F_{m n} = \sum_{k = 1}^{m} (\binom{m}{k}) (F_{n}^{k} (F_{n - 1}^{m - k}$

Binetova formula

Binetova formula je eksplicitno izražavanje vrijednosti $F_{n}$ kao funkcije od $n$

F_{n} = \frac{{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}}{\sqrt{5}} = \frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{φ - (- φ)^{- 1}} = \frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{2 φ - 1},

gdje je $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ zlatni presjek. U tom slučaju $φ$ и $(- φ)^{- 1} = 1 - φ$ su rješenja jednačine $x^{2} - x - 1 = 0$ .

Iz Binetove formule za sve $n ⩾ 0$ , slijedi da je $F_{n}$ za $\frac{φ^{n}}{\sqrt{5}}$ najbliže cijelom broju tj. $F_{n} = ⌊ \frac{φ^{n}}{\sqrt{5}} ⌉$

Za $n \to \infty$ je $F_{n} \sim \frac{φ^{n}}{\sqrt{5}}$ .

Formula se može analitiči prikazati na sljedeći način

F_{z} = \frac{1}{\sqrt{5}} (φ^{z} - \frac{\cos π z}{φ^{z}}) .

pri tome $F_{z + 2} = F_{z + 1} + F_{z}$ vrijedi za svaki kompleksni broj

Odnos prema zlatnom odnosu

U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj $ϕ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ koji je korjen jednačine $x^{2} - x - 1 = 0$ i

$x^{n} - x^{n - 1} + x^{n - 2} = 0$

Iz Binetove formule

$\frac{1}{\sqrt{5}} (ϕ^{n} - (- ϕ)^{- n}) = \frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{2 φ - 1}$

Gdje je

φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803 39887 \dots

φ^{- 1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1 - φ = - \frac{1}{φ} \approx - 0.61803 39887 \dots

Dalje imamo

$φ^{n} = φ^{n - 1} + φ^{n - 2}$

i

$(φ^{- 1})^{n} = (φ^{- 1})^{n - 1} + (φ^{- 1})^{n - 2}$

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

$U_{n} = a φ^{n} + b (φ^{- 1})^{n}$

Zadovoljena je i relaciija

$U_{n} = a φ^{n - 1} + b (φ^{- 1})^{n - 1} + a φ^{n - 2} + b (φ^{- 1})^{n - 2} = U_{n - 1} + U_{n - 2}$

Neka su $a$ i $b$ izabrani tako da je $U_{0} = 0$ i $U_{1} = 1$ onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.

Brojevi $a$ i $b$ zafovoljavaju relaciju

$a + b = 0$

$a φ^{n} + b (φ^{- 1})^{n} = 1$

Odnosno imamo

$a = \frac{1}{φ - φ^{- 1}} = \frac{1}{\sqrt{5}}, b = - a$

Uzimajući $U_{0}$ i $U_{1}$ kao početne varijable imamo

$U_{n} = a φ^{n} + b (φ^{- 1})^{n} = 1$

Odnosno

a = \frac{U_{1} - U_{0} φ^{- 1}}{\sqrt{5}}

b = \frac{U_{0} φ - U_{1}}{\sqrt{5}}

.

Posmatrajmo sada

| \frac{(φ^{- 1})^{n}}{\sqrt{5}} | < \frac{1}{2}

Za $n \geq 0$ , broj $F_{n}$ najbliži cio broj je $\frac{φ^{n}}{\sqrt{5}}$ , koji se može dobiti iz funkcije

F_{n} = [\frac{φ^{n}}{\sqrt{5}}], n \geq 0,

ili

F_{n} = ⌊ \frac{φ^{n}}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2} ⌋, n \geq 0 .

Slično ako je F>0 Fiboniccijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

n (F) = ⌊ \log_{φ} (F \cdot \sqrt{5} + \frac{1}{2}) ⌋,

gdje se $\log_{φ} (x)$ može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primjer

$\log_{φ} (x) = \ln (x) / \ln (φ) = \log_{10} (x) / \log_{10} (φ)$

Osobine

Najveći zajednički djelitelj dva Fibonaccijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posljedice

$F_{m}$ je djeljiv sa $F_{n}$ ako i samo ako je $m$ djeljivo sa $n$ ( bez $n = 2$ )

$F_{m}$ je djeljivo sa $F_{3} = 2$ samo ako je $m = 3 k$
$F_{m}$ je djeljivo sa $F_{4} = 3$ samo ako je $m = 4 k$
$F_{m}$ je djeljivo sa $F_{5} = 5$ samo ako je $m = 5 k$

$F_{m}$ je prost ako je $m$ prost broj sa isključenjem $m = 4$

F_{13} = 233

Obratno ne važi tj ako je $m$ prost broj $F_{m}$ ne mora biti prost

F 19 = 4181 = 37 * 113

Njegov polinom $x^{2} - x - 1$ ima korjene $φ$ i $- φ^{- 1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = φ .$

1964 godine Cochn je dokazao da su u nizu Fibonaccijevih brojeva jedini kvadrati brojevi sa indeksom 0,,1,2,12 $F_{0} = 0^{2} = 0$ , $F_{1} = 1^{2} = 1$ , $F_{2} = 1^{2} = 1$ , $F_{12} = 1 2^{2} = 144$

Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je $x + x^{2} + 2 x^{3} + 3 x^{4} + 5 x^{5} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} F_{n} x^{n} = \frac{x}{1 - x - x^{2}}$

Fibonnaccijev niz brojeva

Prvih 21 Fibonaccijevih brojeva $F_{n}$ za $n = 0, 1, 2, 3, . . . . 20$ ^[3]

F₀	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈	F₉	F₁₀	F₁₁	F₁₂	F₁₃	F₁₄	F₁₅	F₁₆	F₁₇	F₁₈	F₁₉	F₂₀
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

F_{n - 2} = F_{n} - F_{n - 1},

F_{- n} = (- 1)^{n + 1} F_{n} .

Niz brojeva $F_{n}$ za $n = - 8, - 7, . . . . 0, 1, 2, . . . . 8$ ^[4]

F₋₈	F₋₇	F₋₆	F₋₅	F₋₄	F₋₃	F₋₂	F₋₁	F₀	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈
−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21

Identiteti

$F_{1} + F_{2} + F_{3} + \dots + F_{n} = F_{n + 2} - 1$
$F_{1} + F_{3} + F_{5} + \dots + F_{2 n - 1} = F_{2 n}$
$F_{2} + F_{4} + F_{6} + \dots + F_{2 n} = F_{2 n + 1} - 1$
$F_{n + 1} F_{n + 2}^{} - F_{n} F_{n + 3} = (- 1)^{n}$
$F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + F_{3}^{2} + \dots + F_{n}^{2} = F_{n} F_{n + 1}$ (см. рис.)
$F_{n}^{2} + F_{n + 1}^{2} = F_{2 n + 1}$
$F_{2 n} = F_{n + 1}^{2} - F_{n - 1}^{2}$
$F_{3 n} = F_{n + 1}^{3} + F_{n}^{3} - F_{n - 1}^{3}$
$F_{5 n} = 25 F_{n}^{5} + 25 (- 1)^{n} F_{n}^{3} + 5 F_{n}$

Opšte formule

$F_{n + m}^{} = F_{n - 1} F_{m} + F_{n} F_{m + 1} = F_{n + 1} F_{m + 1} - F_{n - 1} F_{m - 1}$
$F_{(k + 1) n}^{} = F_{n - 1} F_{k n} + F_{n} F_{k n + 1}$
$F_{n}^{} = F_{l} F_{n - l + 1} + F_{l - 1} F_{n - l}$

F_{n + 1} = \det (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ - 1 & 1 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ 0 & - 1 & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 1 \\ 0 & \dots & 0 & - 1 & 1 \end{matrix})

, kao i

F_{n + 1} = \det (\begin{matrix} 1 & i & 0 & \dots & 0 \\ i & 1 & i & ⋱ & ⋮ \\ 0 & i & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & i \\ 0 & \dots & 0 & i & 1 \end{matrix})

,

gdje matrice imaju oblik $n \times n$ , i je imaginarna jedinica.

Fibonaccijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma

F_{n + 1} = (- i)^{n} U_{n} (\frac{- i}{2}),

F_{2 n + 2} = U_{n} (\frac{3}{2}) .

Za bilo koji $n$

${(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}^{n} = (\begin{matrix} F_{n + 1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n - 1} \end{matrix}) .$

Posljedica

$(- 1)^{n} = F_{n + 1} F_{n - 1} - F_{n}^{2} .$

Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je

F_{n + 1} = \frac{F_{n} + \sqrt{5 F_{n}^{2} \pm 4}}{2}

Fibonnacijev niz u prirodi

Fibonaccijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:

U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Također pogledajte

Fibonaccijevi polinomi

Reference

Šablon:Reference

Šablon:Stub-mat Šablon:Commonscat

↑ Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
↑ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
↑ The Fibonacci series: 03. april 2011.
↑ Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane Šablon:Webarchive

[1] Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]

[2] Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985

[3] The Fibonacci series: 03. april 2011.

[4] Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane Šablon:Webarchive

[1]

[2]

[3]

[4]

Fibonaccijev broj

Sadržaj

Binetova formula

Odnos prema zlatnom odnosu

Osobine

Fibonnaccijev niz brojeva

Identiteti

Fibonnacijev niz u prirodi

Također pogledajte

Reference

Navigacija

Fibonaccijev broj

Binetova formula

Odnos prema zlatnom odnosu

Osobine

Fibonnaccijev niz brojeva

Identiteti

Fibonnacijev niz u prirodi

Također pogledajte

Reference

Navigacija

Pretraga