Kosinus

Šablon:Nedostaju izvori Kosinus je parna trigonometrijska funkcija oblika:

$y=a\cos (\omega x+\varphi );$. Ova jednačina ima i oblik:

$y=a\sin (\omega x+\varphi +\frac{\pi }{2}).$ .

Grafik ove funkcije naziva se kosinusoida, koji presjeca x-osu u

$[(k+\frac{1}{2})\pi ,0]$ ekstremi su tačke : $[k\pi ,(-1{)}^n].$

Osnovne osobine

Kosinus je parna funkcija

$\cos (-\alpha )=-cos\alpha$

Kosinus je periodična funkcija

$\sin (2k\pi \pm \alpha )=sin\alpha$

Nula funkcije

$cos\alpha =0=>\alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi$

Maksimum funkcije

$cos\alpha =1=>\alpha =2k\pi$

Minimum funkcije

$cos\alpha =-1=>\alpha =(2k+1)\pi$

Neki identiteti

$cos(\alpha +\frac{\pi }{2})=-\sin \alpha$

$\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha$

$cos(\alpha +2\pi )=\cos \alpha$

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\begin{array}{c}\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }\end{array}$

$\begin{array}{c}\cos 3\alpha ={\cos }^3\alpha -3{\sin }^2\alpha \cos \alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha \end{array}$

$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta +\cos (\alpha +\beta )}{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$

$\cos (\alpha )=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ za $i^2=-1$

$\cos x=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}{)}^2})$

Zlatni rez

$\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)=\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{\phi }{2}$

Derivacije

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0,$

$(cosx{)}^{\prime }=-\sin x$

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija funkcije

$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$ je funcija

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }=(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )+(\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta )=2\cdot \cos \theta \Rightarrow \cos \theta =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{2}$

$\arccos x=-i\ln (x+\sqrt{x^2-1})$

Koristi se za određivanje veličine ugla , kada je poznata vrijednost njegovog kosinusa.

$arccos(x)=\frac{\pi }{2}-\arcsin (x)$

$\arccos (-x)=\pi -\arccos (x)$

$\arccos \left(\frac{1}{x}\right)=\mathrm{arcsec}(x)$

$\arccos (x)=\arcsin \left(\sqrt{1-x^2}\right),\text{ if }0\le x\le 1$

$\arccos (x)=\frac{1}{2}\arccos (2x^2-1),\text{ if }0\le x\le 1$

$\arccos (x)=2\arctan \left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}\right),\text{ if }-1<x\le +1$

$\frac{d}{dx}\arcsin (z)=\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$

$\arccos (x)=\underset{x}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}|x|\le 1$

$\arccos (z)=\frac{\pi }{2}-\arcsin (z)=\frac{\pi }{2}-(z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\cdots )=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})z^{2n+1}}{4^n(2n+1)};|z|\le 1$

Također pogledajte

• Kosinusoida
• Sinus
• Tangens
• Kotangens