Lopta (matematika)

U Euklidskom prostoru, lopta se nalazi unutar sfere

U matematici, lopta jeste prostor unutar sfere. Može biti zatvorena lopta (uključujući granične tačke sfere) ili otvorena lopta (ako se tačke ne uzmu u obzir).

Ovi koncepti su definirani ne samo 3D Euklidskim prostorom, nego i također nižim i višim dimenzijama, kao i metričkim prostorima općenito. Lopta sa n dimenzija se zove n-lopta i ograničena je sa n-sferom. Tako, naprimjer, lopta u Euklidskoj ravni je ista stvar kao i krug, područje okruženo kružnicom. U Euklidskom 3D prostoru, lopta se uzima kao zapremina ograničena 2D sfernom ljuskom.

U drugim kontekstima, kao u Euklidskoj geometriji i svakodnevnoj upotrebi, sfera se nekad izjednačava sa pojmom lopta.

Lopte u Euklidskom prostoru

U euklidskom Šablon:Var-prostoru, (otvorena) Šablon:Var-lopta poluprečnika Šablon:Var i centra Šablon:Var jeste skup svih tačaka udaljenosti < Šablon:Var od Šablon:Var. Zatvorena Šablon:Var-lopta poluprečnika Šablon:Var jeste skup svih tačaka udaljenosti ≤ Šablon:Var od Šablon:Var.

U Euklidskom Šablon:Var-prostoru, svaka lopta je unutrašnjost hipersfere (hiperlopta), koja je ograničena intervalom kada je Šablon:Var = 1, interijer kružnice (krug) kada je Šablon:Var = 2, i interijer sfere kada je Šablon:Var = 3.

Zapremina

Šablon:Glavni

Šablon:Var-dimenzionalna zapremina Euklidske lopte radijusa Šablon:Var u Šablon:Var-dinmenzionalnom prostoru je:

$V_n(R)=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{R}^n,$

gdje je Γ Eulerova gama funkcija (koja se može smatrati kao daljnja razrada faktorijelske funkcije za frakcijske argumente). Koristeći eksplicitne formule za partikularne vrijednosti gama funkcije za cijele brojeve i polubrojeve daje se formula zapremine Euklidske lopte koja ne zahtijeva evaluaciju gama funkcije. One su:

$V_{2k}(R)=\frac{{\pi }^k}{k!}{R}^{2k},$

$V_{2k+1}(R)=\frac{2^{k+1}{\pi }^k}{(2k+1)!!}{R}^{2k+1}=\frac{2(k!)(4\pi {)}^k}{(2k+1)!}{R}^{2k+1}.$

U formuli za neparno dimenzionalne vrijednosti, dupli faktorijel Šablon:Nowrap je definiran za neparne cijele brojeve Šablon:Nowrap kao Šablon:Nowrap.

Također pogledajte

• Lopta, općenito značenje
• Krug
• Formalna lopta
• Susjednost (matematika)

Reference

• D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
• "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1] Šablon:Webarchive
• "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber [2]Šablon:Mrtav link