Piramida (geometrija)

Pravilna piramida

Piramida je geometrijsko tijelo sastavljeno od baze (mnogokut, najčešće trokut ili pravokutnik) i stranica (trokuti).

U deskriptivnom smislu piramida "nastaje" kada:

1. Postavimo bazu u neku ravninu (npr. horizontalna ravnina). Baza može biti bilo koji mnogokut (npr. kvadrat).
2. Visina je dužina kojoj je početna tačka u ravnini baze, a krajnja tačka izvan ravnine baze.
3. Spojimo krajnju tačku visine s vrhovima baze.

Podjela

S obzirom na bazu, piramide se dijele na trostrane (baza trokut), četverostrane (baza četverokut) ili višestrane/poligonalne (baza višekut/poligon). Ako je baza pravilni poligon (sve stranice jednake), tu piramidu nazivamo pravilna piramida (vidi sliku).

S obzirom na kut između ravnine baze i visine, piramide se dijele na uspravne (pravi kut) i na kose piramide (svaki kut koji nije pravi).

Tako se, na primjer, piramida kojoj je baza kvadrat a visina je dužina položena okomito iz središta kvadrata naziva pravilna uspravna četverostrana piramida.

Volumen i oplošje

Volumen piramide jednak je umnošku jedne trećine površine baze s dužinom visine:

$𝑉=\frac{1}{3}𝐵𝑣$

$\frac{b}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}(h-y{)}^{2}dy=\frac{-b}{3h^2}(h-y{)}^3{|}_0^h=\frac{1}{3}bh.$ Oplošje piramide jednako je zbroju površina baze i površina svih stranica.

$𝑂=𝑃(baza)+𝑃(s_1)+𝑃(s_2)+...+𝑃(s_n)$

Pravilna trostrana piramida

$s^2=H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{3}{)}^2$

$\sin \omega =\frac{H}{s}$

$\cos \omega =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{s}$

$\tan \omega =\frac{H}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}$

$h^2=H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{6}{)}^2$

$\sin \varphi =\frac{H}{h}$

$\cos \varphi =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{h}$

$\tan \varphi =\frac{H}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}$

$s^2=h^2+(\frac{a}{2}{)}^2$

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$r=\frac{1}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$R=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$M=3\frac{ah}{2}$

$P=B+M$

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\frac{ah}{2}$

$𝑉=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}𝐻$

Pravilna četverostrana piramida

$P=a^2$

$d=a\sqrt{2}$

$r=\frac{a}{2}$

$R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$B=a^2$

$M=4\frac{ah}{2}$

$P=a^2+2ah$

$V=\frac{1}{3}BH$

$V=\frac{1}{3}{a}^{2}H$

$s^2=H^2+(\frac{d}{2}{)}^2$

$\sin \omega =\frac{H}{s}$

$\cos \omega =\frac{\frac{d}{2}}{s}$

$h^2=H^2+(\frac{a}{2}{)}^2$

$\sin \varphi =\frac{H}{h}$

$\cos \varphi =\frac{\frac{a}{2}}{h}$

$s^2=h^2+(\frac{a}{2}{)}^2$

Također pogledajte

• Konus