Mjera (matematika)

Šablon:Nedostaju izvori Mjera je apstraktni matematički pojam, a predstavlja poopćenje pojmova kao što je dužina intervala, površine plohe, zapremine tijela, kardinalnosti skupa i drugih.

Neka je $X\ne \mathrm{\varnothing }$ proizvoljan skup i $M$, $\sigma$- algebra podskupova od $X$ ($M\subseteq P(X)$).

Pod mjerom $\mu$ na $(X,M)$ podrazumijevamo preslikavanje $\mu :M⟶[0,+\mathrm{\infty })$ za koje vrijedi:

• $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$
• $\mu (\underset{i\in 𝐍}{⨄}{A}_i)=\sum _{i\in 𝐍}\mu A_i$, gdje su $A_i\in M$ disjunktni skupovi.

Zadnji uslov nazivamo $\sigma$- aditivnost, tj. za mjeru $\mu$ kažemo da je $\sigma$- aditivna funkcija.

Sa $(X,M)$ označavamo izmjeriv prostor, a sa $(X,M,\mu )$ prostor mjere.

Skupove $A\in M$ nazivamo izmjerivim skupovima.

Za mjeru $\mu$ kažemo da je konačna mjera, ako je $\mu (X)<\mathrm{\infty }$.

Za mjeru $\mu$ kažemo da je $\sigma$- konačna, ako je $X=\bigcup _{i\in 𝐍}{E}_i$ i $\mu (E_i)<\mathrm{\infty }$ za svako $i\in 𝐍$.

Primjer

• Za $X=𝐑$ i $M=B_{𝐑}$, preslikavanje $\mu$ definisano sa $\mu ((a,b])=|b-a|$ predstavlja mjeru, i to je dužina intervala $(a,b]$.