Logaritamska distribucija

U vjerovatnoći i statistici, logaritamska distribucija (također poznata kao distribucija logaritamskih serija ili distribucija log-serije) je diskretna distribucija vjerovatnoće izvedena iz ekspanzije Maclaurinove serije: $-\ln (1-p)=p+\frac{p^2}{2}+\frac{p^3}{3}+\cdots .$

Iz ovoga dobijamo identitet

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}=1.$

Ovo vodi direktno do funkcije mase vjerovatnoće Log(p)-distribuirane slučajnom varijaclom:

$f(k)=\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}$

za k ≥ 1, i gdje je 0 < p < 1. Zbog gore navedenog identiteta, distribucija je pravilno normalizirana.

Funkcija kumulativne distribucije je

$F(k)=1+\frac{\mathrm{B}(p;k+1,0)}{\ln (1-p)}$

gdje je B nepotpuna beta funkcija.

Poissonov spoj sa Log(p)-distribuiranim slučajnim varijablama ima negativnu binomnu distribuciju. Drugim riječima, ako je N slučajna varijabla sa Poissonovom distribucijom, a X_i, i = 1, 2, 3, ... je beskonačan niz nezavisnih identično raspoređenih slučajnih varijabli od kojih svaka ima Log(p) distribuciju, tada

$\sum _{i=1}^N{X}_i$

ima negativnu binomnu distribuciju. Na ovaj način, negativna binomna distribucija se vidi kao složena Poissonova distribucija.

R. A. Fisher opisao je logaritamsku distribuciju u radu koji ju je koristio za modeliranje relativne brojnosti vrsta.

Također pogledajte

• Poissonova distribucija (također izvedena iz Maclaurinove serije)

Dopunska literatura

• Šablon:Cite book
• Šablon:MathWorld