Leibnizovo integracijsko pravilo

Šablon:Infinitezimalni račun U matematici, Leibnizovo pravilo za diferencijaciju pod znakom integrala, koja je dobila naziv po Gottfriedu Leibnizu, nam govori da ako imamo integral oblika

$\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}f(x,y)dy$

tada se, za $x\in (x_0,x_1)$, derivacija ovog integrala može iskazati kao

$\frac{d}{dx}\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}f(x,y)dy=\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)dy$

uz uslov da su $f$ i $\partial f/\partial x$ neprekidne na oblastima oblika

$[x_0,x_1]\times [y_0,y_1].$

Granice koje su varijable

Općenitiji rezultat, primjenljiv kada su granice integracije a i b, kao i podintegralna funkcija ƒ( x, α ) funkcije parametra α, je:

$\frac{d}{d\alpha }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,\alpha )dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial }{\partial \alpha }f(x,\alpha )dx+f(b,\alpha )\frac{db}{d\alpha }-f(a,\alpha )\frac{da}{d\alpha }$  

gdje parcijalna derivacija od f govori da se unutar integrala samo varijacija od ƒ ( x, α ) sa α uzima u obzir pri računanju derivacije.

Trodimenzionalni, vremenski zavisan slučaj

Slika 1: Vektorsko polje F ( r, t ) definisano kroz prostor, i površ Σ ograničena krivom ∂Σkoja se kreće brzinom v po kojoj se polje integriše.

Leibnizovog integraciono pravilo za tri dimenzije je:

 $\frac{d}{dt}\underset{\mathrm{\Sigma }(t)}{\iint }𝐅(𝐫,t)\cdot d𝐀$

  $=\underset{\mathrm{\Sigma }(t)}{\iint }[\frac{\partial }{\partial t}𝐅(𝐫,t)+(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅(𝐫,t))𝐯]\cdot d𝐀$

$-{\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}(𝐯\mathbf{\times }𝐅(𝐫,t))\cdot d𝐬,$

gdje je:

F ( r, t ) vektorsko polje u prostornoj poziciji r u vremenu t

Σ je pokretna površ ograničena krivom ∂Σ

d A je vektorski element površi Σ

d s je vektorski element krive ∂Σ

v je brzina kretanja oblasti Σ

∇• je vetor divergencije

× je vektorski proizvod

Dvostruki integrali su površinski integrali po površi Σ, i linijski integral je po graničnoj krivoj ∂Σ.

Dokazi

Osnovni oblik

Prvo, pretspostavimo da vrijedi

$u(x)=\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}f(x,y)dy.$

Tada je

$\frac{d}{dx}u(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.$

Zamjenom u prethodno imamo

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}f(x+h,y)dy-\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}f(x,y)dy}{h}.$

Pošto je integracija linearna, možemo pisati dva integrala kao jedan:

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}(f(x+h,y)-f(x,y))dy}{h}.$

Možemo konstantu staviti pod integral, zajedno sa podintegralnom funkcijom

$=\underset{h\to 0}{\lim }\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}dy.$

Sada, pošto je podintegralna funkcija u obliku diferencijalnog količnika:

$=\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)dy$

koji se pravda sa uniformna neprekidnost€uniformnom neprekidnošću, te je zbog toga

$\frac{d}{dx}u(x)=\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)dy.$

Također pogledajte

• Pravilo derivacije proizvoda
• Leibnizovo pravilo (uopćeno pravilo derivacije proizvoda)
• Diferencijacija pod znakon integrala