Leibnizova formula za determinante

Šablon:Nedostaju izvori U algebri, Leibnizova formula izražava determinantu kvadratne matrice $A=(a_{ij}{)}_{i,j=1,\dots ,n}$ preko permutacija elemenata te matrice. Naziv je dobila prema njemačkom matematičaru Gottfriedu Leibnizu, a formula glasi:

$\det (A)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$

za matricu dimenzije n×n, gdje je sgn sgn funkcija ili permutacije u permutacionoj grupi S_n, koja daje razultat +1 i −1 za parne i neparne permutacije, respektivno.

Druga uobičajna notacija, koja se koristi za ovu formulu, je preko Levi-Civitaovog simbola, te koristi Einsteinovu notaciju, kada postoje:

$\det (A)={ϵ}^{i_1\cdots i_n}{A}_{1i_1}\cdots A_{n{i}_n},$

što je poznatije fizičarima.

Formalni iskaz i dokaz

Teorem

Postoji tačno jedna funkcija

$F:{𝔐}_n(𝕂)⟶𝕂$

koja je alternativno multilinearno prema kolonama, takvo da je $F(I)=1$.

Dokaz

Jedinstvenost: Neka $F$ bude funkcija, i neka $A=(a_i^j{)}_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}$ bude matrica dimenzije $n\times n$. Reći ćemo da je $A^j$ $j$-ta kolona matrice $A$, to jest $A^j=(a_i^j{)}_{i=1,\dots ,n}$, takvo da je $A=(A^1,\dots ,A^n).$

Također, neka $E^k$ označava $k$-tu vektor kolonu matrice identiteta.

Tada se piše svaki $A^j$ član kao $E^k$, to jest

$A^j=\sum _{k=1}^n{a}_k^j{E}^k$.

Pošto je $F$ multilinearno, imamo da je

$\begin{array}{cc}F(A)& =F(\sum _{k_1=1}^n{a}_{k_1}^1{E}^{k_1},A^2,\dots ,A^n)\\ & =\sum _{k_1=1}^n{a}_{k_1}^{1}F(E^{k_1},A^2,\dots ,A^n)\\ & =\sum _{k_1=1}^n{a}_{k_1}^1\sum _{k_2=1}^n{a}_{k_2}^{2}F(E^{k_1},E^{k_2},A^3,\dots ,A^n)\\ & =\sum _{k_1,k_2=1}^n\left(\prod _{i=1}^2{a}_{k_i}^i\right)F(E^{k_1},E^{k_2},A^3,\dots ,A^n)\\ & =\cdots \\ & =\sum _{k_1,\dots ,k_n=1}^n\left(\prod _{i=1}^n{a}_{k_i}^i\right)F(E^{k_1},\dots ,E^{k_n}).\end{array}$

Iz alternacije, slijedi da ako je $k_1=k_2$, tada imamo

$\begin{array}{c}\\ F(\dots ,E^{k_1},\dots ,E^{k_2},\dots )& =-F(\dots ,E^{k_2},\dots ,E^{k_1},\dots )\\ F(\dots ,E^{k_1},\dots ,E^{k_2},\dots )& =-F(\dots ,E^{k_1},\dots ,E^{k_2},\dots )\\ F(\dots ,E^{k_1},\dots ,E^{k_2},\dots )& =0\end{array}$

Pošto gornja suma uzima u obzir sve moguće šanse poredanih $n$-tostrukosti $(k_1,\dots ,k_n)$, i pošto $k_{i_1}=k_{i_2}$ implicira da je F nula, suma se može redukovati iz mnogostrukosti do permutacija kao

$\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\left(\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)}^i\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).$

Pošto je F alternativno, kolone $E$ se mogu zamijenjivati dok ne postane identitet. Sgn funkcija $\mathrm{sgn}(\sigma )$ definisana je da broji broj zamijena neophodnih, te da uračuna rezultirajuću promjenu znaka. Na kraju se dobija:

$\begin{array}{cc}F(A)& =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)}^i\right)F(I)\\ & =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)}^i\end{array}$

gdje $F(I)$ treba da bude jednako $1$.

Zbog toga, ni jedna funkcija pored funkcije definisane preko Leibnizove formule nije multilinearna alternativna funkcija sa $F\left(I\right)=1$.

Postojanje: Sada ćemo pokazati da F, gdje je F funkcija definisana preko Leibnizove formule, ima tri osobine.

Multilinearnost:

$\begin{array}{cc}F(A^0,\dots ,c*A^j,\dots )& =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )*c*a_{\sigma (j)}^j\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i\\ & =c*\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )*a_{\sigma (j)}^j\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i\\ & =c*F(A^0,\dots ,A^j,\dots )\\ \\ F(A^0,\dots ,b+A^j,\dots )& =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )*(b_j+a_{\sigma (j)}^j)\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i\\ & =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )*(\left(b_j\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i\right)+\left(a_{\sigma (j)}^j\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i\right))\\ & =(\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )*b_j\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i)+(\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )*\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)}^i)\\ & =F(A^0,\dots ,b,\dots )+F(A^0,\dots ,A^j,\dots )\\ \\ \end{array}$

Alternativnost:

$\begin{array}{cc}F(\dots ,A^{j_1},\dots ,A^{j_2},\dots )& =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\ne j_1,i\ne j_2}^n{a}_{\sigma (i)}^i\right)*a_{\sigma (j_1)}^{j_1}*a_{\sigma (j_2)}^{j_2}\\ \end{array}$

Sad neka $\omega$ bude mnogostrukost jednaka $\sigma$ sa zamijenjenim indeksima $j_1$ i $j_2$. Slijedi iz definicije $\mathrm{sgn}$ funkcije da je $\mathrm{sgn}(\sigma )=-sgn(\omega )$.

$\begin{array}{c}\\ F(\dots ,A^{j_1},\dots ,A^{j_2},\dots )& =\sum _{\omega \in {𝔖}_n}-\mathrm{sgn}(\omega )\left(\prod _{i=1,i\ne j_1,i\ne j_2}^n{a}_{\omega (i)}^i\right)*a_{\omega (j_1)}^{j_1}*a_{\omega (j_2)}^{j_2}\\ & =-F(\dots ,A^{j_2},\dots ,A^{j_1},\dots )\\ \\ \end{array}$

Konačno, $F(I)=1$:

$\begin{array}{c}\\ F(I)& =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{I}_{\sigma (i)}^i\\ & =\sum _{\sigma =(1,2,\dots ,n)}\prod _{i=1}^n{I}_i^i\\ & =1\end{array}$

Zbog toga samo funkcije, koje su multilinearno alternativne s $F(I)=1$, su ograničene na funkcije koje su definisane Leibnizovom formulom, koja i sama ima tri osobine. Zbog toga determinanta može biti definisana kao jedina funkcija

$\det :{𝔐}_n(𝕂)⟶𝕂$

sa ove tri osobine.

Također pogledajte

• Matrica (matematika)
• Kramerovo pravilo

Reference

• Lloyd N. Trefethen and David Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).